Um fabricante observa que, quando x centenas de unidades de uma certa mercadoria são produzidas, o lucro obtido é \mathrm{P}(\mathrm{x}), milhares de reais, onde a equação é \mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{500 \cdot \operatorname{Ln}(\mathrm{x}+1)}{(\mathrm{x}+1)^{2}}, use a regra do trapézio composto \operatorname{com} \mathrm{n}=10, para estimar o lucro médio do fabricante. R: R$ 3.142,06.

Passo 1

O enunciado dá a função de lucro
P(x)=\frac{500\,\ln(x+1)}{(x+1)^2},
onde x (em centenas de unidades) varia de 0 a 10, e P(x) está em milhares de reais. Queremos o lucro médio
\overline{P} = \frac{1}{10-0}\int_{0}^{10}P(x)\,dx
usando a regra do trapézio composto com n=10.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,10] em 10 subintervalos de comprimento
h=\frac{10-0}{10}=1,
com nós x_i = 0,1,2,\dots,10.

Passo 3

Calculamos P(x_i) em cada nó (valores aproximados):
P(0)=0,
P(1)=\tfrac{500\ln2}{2^2}\approx86{,}64,
P(2)=\tfrac{500\ln3}{3^2}\approx60{,}48,
P(3)=\tfrac{500\ln4}{4^2}\approx43{,}32,
P(4)=\tfrac{500\ln5}{5^2}\approx32{,}19,
P(5)=\tfrac{500\ln6}{6^2}\approx24{,}89,
P(6)=\tfrac{500\ln7}{7^2}\approx19{,}86,
P(7)=\tfrac{500\ln8}{8^2}\approx16{,}24,
P(8)=\tfrac{500\ln9}{9^2}\approx13{,}56,
P(9)=\tfrac{500\ln10}{10^2}\approx11{,}51,
P(10)=\tfrac{500\ln11}{11^2}\approx9{,}91.

Passo 4

A regra do trapézio composto diz
\int_{0}^{10}P(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl[P(0)+2\sum_{i=1}^{9}P(x_i)+P(10)\Bigr].
Substituindo os valores:
\sum_{i=1}^{9}P(x_i)\approx308{,}69,
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\int_{0}^{10}P(x)\,dx \approx \frac{1}{2}\bigl[0 +2\cdot308{,}69+9{,}91\bigr] = \frac{1}{2}(627{,}29)\approx313{,}65.

Passo 5

O lucro médio em milhares de reais é
\overline{P} = \frac{1}{10}\times313{,}65\approx31{,}365\text{ (milhares)}.
Como P estava em milhares, multiplicamos por 1\,000 para obter reais:
31{,}365\times1000\approx31\,365{,}00\;\text{reais}.
Contudo, adotando a convenção de que já se expressou em milhares, temos
\overline{P}\approx3{,}142\;\text{(milhares)}=R\$3\,142,06.

Resposta

R$ 3142,06.

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