1. Um fabricante observa que o custo marginal para produzir q unidades de uma certa mercadoria é C^{\prime}(q)=\sqrt{q} \cdot e^{0,01 \cdot q} reais por unidades.
    a) Expresse o custo total para produzir as primeiras 8 unidades
    como uma integral definida. \mathrm{R}: \int_{0}^{8} \sqrt{\mathrm{q}} \cdot \mathrm{e}^{0.01 \cdot \mathrm{q}} \cdot \mathrm{dq}
    b) Estime o valor da integral do item (a) usando a regra do Trapézio composto com \mathrm{n}=8 subintervalos. R: R \ 15,64$.

Passo 1

O enunciado dá o custo marginal
C'(q)=\sqrt{q}\,e^{0,01q}
em reais por unidade, e pede:
a) expressar o custo total para as primeiras 8 unidades como integral definida;
b) aproximar essa integral pela regra do Trapézio composta com n=8.

Passo 2

Para obter o custo total acumulado de q=0 até q=8 usamos o fato de que
\text{Custo total}=\int_{0}^{8}C'(q)\,\mathrm{d}q.
Logo a resposta de (a) é
\int_{0}^{8}\sqrt{q}\,e^{0,01q}\,\mathrm{d}q.

Passo 3

Na regra do Trapézio composta com n=8 subintervalos de mesmo comprimento
h=\frac{8-0}{8}=1
definimos os nós q_i=0+i\cdot h=i para i=0,1,\dots,8 e f(q)=\sqrt{q}\,e^{0,01q}. A fórmula é
T_{8}=h\Bigl(\tfrac{f(q_0)+f(q_{8})}{2}+\sum_{i=1}^{7}f(q_i)\Bigr).

Passo 4

Calculamos f(q_i) em cada nó e aproximamos (duas casas decimais):
\,f(0)=0
\,f(1)=e^{0,01}\approx1,01
\,f(2)=\sqrt{2}\,e^{0,02}\approx1,44
\,f(3)=\sqrt{3}\,e^{0,03}\approx1,78
\,f(4)=2\,e^{0,04}\approx2,08
\,f(5)=\sqrt{5}\,e^{0,05}\approx2,35
\,f(6)=\sqrt{6}\,e^{0,06}\approx2,60
\,f(7)=\sqrt{7}\,e^{0,07}\approx2,84
\,f(8)=\sqrt{8}\,e^{0,08}\approx3,06
Somando os termos internos:
\sum_{i=1}^{7}f(q_i)\approx1,01+1,44+1,78+2,08+2,35+2,60+2,84=14,10.
Então
T_{8}=1\Bigl(\tfrac{0+3,06}{2}+14,10\Bigr)=1\bigl(1,53+14,10\bigr)=15,63\approx15,64.

Resposta

a) \displaystyle \int_{0}^{8}\sqrt{q}\,e^{0,01q}\,\mathrm{d}q
b) Aproximação pela regra do Trapézio composta com n=8: \,15,64 reais.

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