Um ioiô possui um momento de inércia de 950 g cdot cm^2 e uma massa de 120 g . O raio do eixo é 3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até a extremidade da corda. Ao chegar à extremidade da corda, qual é a energia cinética de translação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão trata de dinâmica rotacional e energia cinética. Precisamos calcular a energia cinética de translação de um ioiô quando ele desce até o fim da corda. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética tanto de movimento linear quanto de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação: o ioiô parte do repouso e desce uma altura igual ao comprimento da corda, que é 120 cm ou 1,2 metros. Inicialmente, toda a energia do ioiô está em energia potencial gravitacional, que é convertida em energia cinética quando o ioiô desce.

Passo 3

A energia potencial gravitacional (EP) pode ser calculada pela fórmula:
EP = m cdot g cdot h
onde:
  • $ m = 120 , g = 0,12 , kg $ (convertendo gramas para quilogramas),
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade),
  • $ h = 1,2 , m $ (altura da descida).

Passo 4

Calculando a energia potencial:
EP = 0,12 , kg times 9,8 , m/s^2 times 1,2 , m = 1,4112 , J

Passo 5

Essa energia potencial se transforma em energia cinética total (EC_total) na base, que é a soma da energia cinética de translação (movimento linear) e da energia cinética de rotação:
ECtotal = ECtrans + ECrot
onde:
  • ECtrans = 12 m v^2,
  • ECrot = 12 I omega^2.

Passo 6

Como o ioiô está rolando sem escorregar, a velocidade linear $ v $ está relacionada com a velocidade angular $ \omega $ pela fórmula:
v
onde $ r $ é o raio do eixo, que é $ 3,2 , mm = 0,0032 , m $.

Passo 7

Podemos substituir $ \omega $ na equação da energia cinética de rotação:
omega
Mas precisamos converter o momento de inércia $ I $ para unidades consistentes. Vamos converter $ 950 , g \cdot cm^2 $ para $ kg \cdot m^2 $:
ECrot = 12 I (vr)^2 = 12 cdot 950 , g cdot cm^2 cdot (v0,0032 , m)^2

Passo 8

Agora, substituindo $ I $ na equação da EC_rot:
I

Passo 9

Agora, temos que a energia potencial inicial é igual à energia cinética total no final:
EP = ECtrans + ECrot
Substituindo os valores:
1,4112 = 12 times 0,12 times v^2 + 4,6406 times v^2

Passo 10

Vamos agrupar os termos com $ v^2 $:
v^2

Passo 11

Resolvendo para $ v^2 $:
v^2

Passo 12

Agora, calculamos a energia cinética de translação:
ECtrans = 12 times 0,12 , kg times 0,3002 , m^2/s^2 = 0,06 times 0,3002 approx 0,018012 , J

Resposta

A energia cinética de translação do ioiô ao chegar à extremidade da corda é aproximadamente 0,018 J.

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