Uma roda de amolar está inicialmente em repouso. Um torque externo constante de 50,0 N é aplicado sobre a roda durante 20,0 s, imprimindo à pedra uma rapidez angular de 600 rev / min. O torque externo é então retirado, e a roda atinge o repouso 120 s depois. Determine (a) o momento de inércia da roda e (b) o torque causado pelo atrito, suposto constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que está inicialmente parada. Ela recebe um torque externo constante de 50,0 N·m durante 20,0 segundos, fazendo com que alcance uma rapidez angular de 600 rotações por minuto (rev/min). Depois, o torque é retirado, e a roda para completamente em 120 segundos devido ao atrito.
Conteúdo da matéria: Torque, momento de inércia, velocidade angular, e leis do movimento rotacional.
O que vamos precisar:
  • Converter unidades de rev/min para rad/s.
  • Aplicar a segunda lei de Newton para rotações.
  • Usar fórmulas de movimento angular uniformemente acelerado/desacelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a rapidez angular de 600 rev/min para radianos por segundo (rad/s), pois as fórmulas de física usam rad/s.
Sabemos que:
  • 1 rotação = 2pi radianos
  • 1 minuto = 60 segundos
Então:
omega = 600 , rev/min times 2pi , rad1 , rev times 1 , min60 , s = 600 times 2pi60 = 600 times pi30 = 20pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda lei de Newton para rotações, que diz:
tau = I cdot alpha
onde:
  • tau é o torque,
  • I é o momento de inércia,
  • alpha é a aceleração angular.
Queremos encontrar o momento de inércia I, então precisamos descobrir a aceleração angular alpha.
Para isso, usamos a fórmula da cinemática angular:
omega = omega0 + alpha t
Como a roda parte do repouso, omega0 = 0. Então:
alpha = omegat = 20pi , rad/s20 , s = pi , rad/s^2

Passo 4

Agora que temos alpha, podemos achar o momento de inércia I usando a segunda lei de Newton para rotações:
I = taualpha = 50,0 , N·mpi , rad/s^2 approx 503,1416 approx 15,92 , kg·m^2

Passo 5

Agora, para a parte (b), precisamos determinar o torque causado pelo atrito quando a roda está desacelerando até parar em 120 segundos.
Usamos novamente a fórmula da cinemática angular:
omegaf = omegai + alpha t
Aqui, omegaf = 0 (roda em repouso), e omegai = 20pi , rad/s. Então:
0 = 20pi + alpha times 120
alpha = -20pi120 = -pi6 , rad/s^2
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção contrária ao movimento, ou seja, é uma desaceleração.
Agora, usamos a segunda lei de Newton para rotações novamente para encontrar o torque de atrito tauf:
tauf = I cdot alpha = 15,92 , kg·m^2 times (-pi6 , rad/s^2) approx -8,35 , N·m
O torque negativo indica que o atrito está agindo na direção oposta ao movimento da roda.

Resposta

(a) O momento de inércia da roda é aproximadamente 15,92 , kg·m^2.
(b) O torque causado pelo atrito é de aproximadamente -8,35 , N·m.

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