Uma mangueira que despeja água a uma razão de 2 litros por segundo é usada para encher uma piscina em forma de paralelepípedo, cuja área da base é
e cuja profundidade é
. Com que velocidade subirá o nível da água na piscina enquanto durar o processo? Resp.:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma mangueira joga água a 2 L/s dentro de uma piscina retangular cuja base tem área de 48 m² e profundidade de 1,5 m. A gente quer achar a velocidade com que o nível da água sobe (dh/dt) enquanto enche, e também quanto tempo leva até ficar cheia. Isso é um típico problema de “taxas relacionadas” (derivadas): usamos a relação entre volume e altura da água,
, e derivamos em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro converte a vazão para metros cúbicos por segundo:
Como a piscina tem área da base
, o volume de água é
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Isolando
:
Então a altura da água sobe a cerca de
.
Passo 4
Para saber o tempo total de enchimento, calcula o volume final (quando
m):
Como a vazão é
, o tempo é
Resposta
Tempo de enchimento:
s.
Velocidade de subida do nível:
Velocidade de subida do nível: