Uma mangueira que despeja água a uma razão de 2 litros por segundo é usada para encher uma piscina em forma de paralelepípedo, cuja área da base é 48 m^2 e cuja profundidade é 1,5 m. Com que velocidade subirá o nível da água na piscina enquanto durar o processo? Resp.: 36000 s ; 0,0416 times 10^-3 m / s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma mangueira joga água a 2 L/s dentro de uma piscina retangular cuja base tem área de 48 m² e profundidade de 1,5 m. A gente quer achar a velocidade com que o nível da água sobe (dh/dt) enquanto enche, e também quanto tempo leva até ficar cheia. Isso é um típico problema de “taxas relacionadas” (derivadas): usamos a relação entre volume e altura da água, , e derivamos em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro converte a vazão para metros cúbicos por segundo:
2,L/s = 2times10^-3,m^3/s
Como a piscina tem área da base V = Acdot h = 48,h , o volume de água é
dVdt = 48,dhdt
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Isolando dhdt = 148,dVdt = 148times 2times10^-3 = 2times10^-348 = 0,0416times10^-3,m/s :
Então a altura da água sobe a cerca de .

Passo 4

Para saber o tempo total de enchimento, calcula o volume final (quando Vtotal = 48,m^2 times 1,5,m = 72,m^3 m):
t = Vtotaldot V = 720,002 = 36,000,s
Como a vazão é , o tempo é

Resposta

Tempo de enchimento: s.
Velocidade de subida do nível:

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