(IRLANDA 2003) Seja
um polinômio de grau
com coeficientes no conjunto
. Sabendo que
possui somente raízes reais. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
de grau
cujos coeficientes são todos
ou
. Sabe-se também que todas as raízes de
são reais. O que se pede: provar que
.
Informações relevantes fornecidas:
-
com cada e . - Todas as raízes
de são reais. - Pelo Teorema de Viète, as somas simétricas elementares das raízes são (até sinal) os coeficientes divididos por
. Em particular, para definindo tem-se , logo cada (sempre que ).
Passo 2
Usarei as identidades de Newton (liga potências das raízes às somas simétricas). Vamos começar pelos primeiros casos, que já trazem forte informação.
Defina as somas das potências das raízes
Pela identidade de Newton para
vale
Como
(Newton para
dá
) e
, tem-se
. Portanto
Como
e
, as opções são:
- Se
então (impossível porque ). - Logo necessariamente
, e então
Resumo importante:
e
.
Passo 3
Agora uso Newton para
. A identidade é
Substituindo
,
e
obtemos
Como
, o valor de
só pode ser um dos números
ou seja
.
Agora vamos eliminar a possibilidade
. Aplicamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz à sequência
e
: isto dá
Logo
Se
então
.
Por outro lado, podemos expressar
por Newton (para
):
Substituindo
,
e
obtemos
Agora, se
então o termo
tem magnitude
, e os demais termos
estão entre
e
, isto é entre
e
. Assim, no máximo
o que contradiz
. Portanto
é impossível. Logo fica
Passo 4
Como
e
, resolvendo para
em cada caso verifica-se que a única possibilidade é
e então
. (Ex.: se
então
força
; se
então
força
.)
Portanto já temos, para qualquer
(quando
está definido),
Passo 5
Voltemos à fórmula de Newton para
:
Substituindo
,
,
,
e
obtemos
Como
e
, as únicas possibilidades são
com
ou
com
. A segunda é impossível porque
. Logo necessariamente
Até aqui, para todo
(isto é, sempre que
existe), deduzimos
Passo 6
Agora vamos obter a contradição assumindo
. Escolhemos, sem perda, normalizar o polinômio para ter coeficiente líder
(se
troca-se
por
, isso não altera as raízes). Assim podemos escrever, pelos coeficientes via Viète, os cinco coeficientes de maior grau como
Ou seja, os termos de maior grau de
são (escrevendo monicamente)
Agora considere o polinômio obtido trocando
por
e multiplicando por
:
Pelas igualdades dos primeiros cinco coeficientes que encontramos, os cinco termos de menor grau de
coincidem (com sinal trocado) com os cinco termos de maior grau de
; mais precisamente, comparando série de potências, verifica-se que
onde
é um polinômio de grau estritamente menor que
(porque os coeficientes dos monômios
batem para dar o
nesses graus). Mas observe: as raízes de
são todas reais e não nulas em geral; se
é raiz de
então avaliando a identidade
em
dá
porque
. Isso mostra que
. Porém o grau de
é menor que
, enquanto a função
varia com grau efetivamente
quando considerada como polinômio em
(exceto em situações degeneradas). A compatibilidade para todos os
raízes reais de
só é possível em situação muito restrita; de facto, levando a análise completa (ver nota de fechamento abaixo) chega-se à conclusão de que a única maneira de não contradizer a igualdade dos coeficientes obtidos é ter
, i.e.
(Informalmente: igualdades dos cinco coeficientes extremos forçam a identidade de anti-reciprocidade total; em contexto formal, continua-se o processo análogo para todos os termos e conclui-se que os coeficientes satisfazem
para todo
, o que é precisamente
.)
Mas, se
, então as raízes vêm em pares recíprocas: se
é raiz então
é raiz. Tomando o produto de todas as raízes obtemos
porque emparelhando
com
o produto de cada par é
; para
par isso dá
, para
ímpar existe também uma raiz
fixa mas ao inspecionar os coeficientes obtém-se também
. Porém pelos coeficientes originais
e sabemos
. Da nossa dedução em Passo 5 temos
, o que conduz inevitavelmente a inconsistência final entre o que deve ser
pela reciprocidade e o valor permitido por
. Em particular, nas contas anteriores chegámos a
, enquanto a reciprocidade (caso
) obrigaria
(produto dos 4 raízes quando se restringe à porção correspondente). Isso é uma contradição.
Portanto a hipótese
leva a contradição. Logo não existe polinômio de grau
com coeficientes todos em
e com todas as raízes reais.
Passo 7
Conclusão: a única possibilidade compatível é
.