Você foi designado para trabalhar em um PFR localizado em uma nova planta na empresa onde trabalha. O PFR específico em questão é usado para conduzir a seguinte reação:
Seu chefe deseja saber até que ponto a reação deve descer no reator para atingir 90% de conversão.
Você decide que primeiro seria melhor verificar todas as propriedades cinéticas inerentes a esta reação e as condições de alimentação. Em vez de procurá-los nos livros de Perry ou em seus antigos livros de Eng. Química, você decide perguntar ao engenheiro-chefe da planta, Celso Murilo. Celso diz o seguinte:
“Ouça com sabedoria o que eu digo, jovem gafanhoto. Esta reação é irreversível, de fase líquida e elementar. Alimentaremos os reagentes no reator tubular de 50 cm de diâmetro. Começaremos com uma concentração inicial de A a
e uma vazão molar inicial de A a
. A constante de velocidade na temperatura que trabalharemos é
.”
Utilize o método de Euler para verificar em que distância L o reator atinge 90% de conversão.
Você decide que primeiro seria melhor verificar todas as propriedades cinéticas inerentes a esta reação e as condições de alimentação. Em vez de procurá-los nos livros de Perry ou em seus antigos livros de Eng. Química, você decide perguntar ao engenheiro-chefe da planta, Celso Murilo. Celso diz o seguinte:
“Ouça com sabedoria o que eu digo, jovem gafanhoto. Esta reação é irreversível, de fase líquida e elementar. Alimentaremos os reagentes no reator tubular de 50 cm de diâmetro. Começaremos com uma concentração inicial de A a
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Objetivo: determinar a que distância
(comprimento do reator tubular) a reação atinge de conversão (ou seja, ) usando o método de Euler. - Dados fornecidos:
- Diâmetro do reator:
. - Concentração inicial:
. - Vazão molar inicial de
: . - Constante de velocidade:
.
- Diâmetro do reator:
- Equação diferencial fornecida (descrita para um PFR, com
conversão e volume): - O que será feito: aplicar o método de Euler (integração numérica explícita) para parar quando
, obter o volume correspondente e converter para comprimento usando a área da seção transversal do tubo.
Passo 2
Preparar a equação para a integração numérica e calcular constantes numéricas.
- Defino a constante
Aqui tem unidade porque é , é e é . - Calculo numérico:
- A equação diferencial fica, então,
- No método de Euler explícito, com passo
, a atualização é
Vou explicar rapidamente o que é o método de Euler: ele aproxima a derivada por uma diferença finita à frente. Partindo de
(aqui
em
), calcula-se
usando a inclinação no ponto inicial, depois repete-se. Quanto menor
, mais precisa a aproximação (mas mais cálculos).
Passo 3
Escolha do passo
e simplificação da recorrência.
- Para manter cálculo manual razoável e erro aceitável escolho
. Essa escolha dá um número de passos pequeno (ordem de 10) e permite ver desempenho do método. - Calculo o produto
: - A recorrência fica
- Observação útil (reduz trabalho): essa recorrência linear tem solução explícita
partindo de . Isso permite calcular diretamente sem aplicar passo a passo, e também estimar quantos passos são necessários para atingir .
Passo 4
Determinar o número de passos
necessário para
e obter o volume
.
- Queremos
, ou seja - Tomando logaritmo natural:
Calculo aproximado (mostrando raciocínio): Logo - Como
tem que ser inteiro, escolhemos passos. Assim o volume aproximado é - Podemos também calcular a conversão no passo
via fórmula fechada: o que confirma . (Se tivesse usado teria , insuficiente.)
Passo 5
Converter o volume obtido em comprimento
do reator.
- A área da seção transversal do tubo é
Com : - O comprimento necessário é
Passo 6
Avaliação do erro e comparação com a solução exata (checagem).
-
A solução analítica da ODE
com é Paraa solução exata em volume é Convertendo: -
Comparação: o método de Euler com
deu , que está próximo do valor exato . A diferença é pequena (cerca de em comprimento). Se quiser reduzir o erro, diminuir (por exemplo ) melhora a aproximação ao custo de mais passos. -
Motivação prática: para uma verificação numérica rápida e mão-na-massa,
é suficiente; para projeto final recomenda-se rodar com passo menor (ou usar a solução analítica).