Você foi designado para trabalhar em um PFR localizado em uma nova planta na empresa onde trabalha. O PFR específico em questão é usado para conduzir a seguinte reação:
\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{~B}
Seu chefe deseja saber até que ponto a reação deve descer no reator para atingir 90% de conversão.
Você decide que primeiro seria melhor verificar todas as propriedades cinéticas inerentes a esta reação e as condições de alimentação. Em vez de procurá-los nos livros de Perry ou em seus antigos livros de Eng. Química, você decide perguntar ao engenheiro-chefe da planta, Celso Murilo. Celso diz o seguinte:
“Ouça com sabedoria o que eu digo, jovem gafanhoto. Esta reação é irreversível, de fase líquida e elementar. Alimentaremos os reagentes no reator tubular de 50 cm de diâmetro. Começaremos com uma concentração inicial de A a 1,6 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3} e uma vazão molar inicial de A a 0,2 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}. A constante de velocidade na temperatura que trabalharemos é 0,2 \mathrm{~min}^{-1}.”
Utilize o método de Euler para verificar em que distância L o reator atinge 90% de conversão.
\frac{d x}{d V}=\frac{k \cdot C a 0 \cdot(1-x)}{F a 0}

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Objetivo: determinar a que distância L (comprimento do reator tubular) a reação atinge 90\% de conversão (ou seja, x=0{,}90) usando o método de Euler.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do reator: D=0{,}50\\ \text{m}.
    • Concentração inicial: C_{A0}=1{,}6\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
    • Vazão molar inicial de A: F_{A0}=0{,}2\\ \mathrm{mol/min}.
    • Constante de velocidade: k=0{,}2\\ \mathrm{min^{-1}}.
  • Equação diferencial fornecida (descrita para um PFR, com x conversão e V volume): \frac{dx}{dV}=\frac{k\cdot C_{A0}\cdot(1-x)}{F_{A0}}.
  • O que será feito: aplicar o método de Euler (integração numérica explícita) para parar quando x\ge 0{,}90, obter o volume V correspondente e converter para comprimento L usando a área da seção transversal do tubo.

Passo 2

Preparar a equação para a integração numérica e calcular constantes numéricas.
  • Defino a constante a=\frac{k\cdot C_{A0}}{F_{A0}}.Aqui a tem unidade \mathrm{m^{-3}} porque k é \mathrm{min^{-1}}, C_{A0} é \mathrm{mol/m^{3}} e F_{A0} é \mathrm{mol/min}.
  • Calculo numérico: a=\frac{0{,}2\cdot 1{,}6}{0{,}2}=\frac{0{,}32}{0{,}2}=1{,}6\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • A equação diferencial fica, então, \frac{dx}{dV}=a(1-x).
  • No método de Euler explícito, com passo \Delta V, a atualização é x_{n+1}=x_{n}+\Delta V\cdot a(1-x_{n}).
Vou explicar rapidamente o que é o método de Euler: ele aproxima a derivada por uma diferença finita à frente. Partindo de x_0 (aqui x_0=0 em V=0), calcula-se x_1 usando a inclinação no ponto inicial, depois repete-se. Quanto menor \Delta V, mais precisa a aproximação (mas mais cálculos).

Passo 3

Escolha do passo \Delta V e simplificação da recorrência.
  • Para manter cálculo manual razoável e erro aceitável escolho \Delta V=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}}. Essa escolha dá um número de passos pequeno (ordem de 10) e permite ver desempenho do método.
  • Calculo o produto r=a\Delta V: r=a\Delta V=1{,}6\times 0{,}1=0{,}16.
  • A recorrência fica x_{n+1}=x_n+0{,}16\,(1-x_n)=(1-0{,}16)x_n+0{,}16=0{,}84\,x_n+0{,}16.
  • Observação útil (reduz trabalho): essa recorrência linear tem solução explícita x_n=1-(1-r)^n=1-0{,}84^{\,n},partindo de x_0=0. Isso permite calcular diretamente x_n sem aplicar passo a passo, e também estimar quantos passos são necessários para atingir x\ge 0{,}90.

Passo 4

Determinar o número de passos n necessário para x_n\ge 0{,}90 e obter o volume V.
  • Queremos x_n\ge 0{,}90, ou seja 1-0{,}84^{\,n}\ge 0{,}90 \quad\Rightarrow\quad 0{,}84^{\,n}\le 0{,}10.
  • Tomando logaritmo natural: n\ge\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}84)}.Calculo aproximado (mostrando raciocínio): \ln(0{,}10)=-\ln(10)\approx -2{,}302585,\qquad \ln(0{,}84)\approx -0{,}174353.Logo n\ge\frac{-2{,}302585}{-0{,}174353}\approx 13{,}205.
  • Como n tem que ser inteiro, escolhemos n=14 passos. Assim o volume aproximado é V=n\Delta V=14\times 0{,}1=1{,}4\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Podemos também calcular a conversão no passo n=14 via fórmula fechada: x_{14}=1-0{,}84^{14}\approx 1-0{,}0871\approx 0{,}9129,o que confirma x_{14}\ge 0{,}90. (Se tivesse usado n=13 teria x_{13}=1-0{,}84^{13}\approx 0{,}861, insuficiente.)

Passo 5

Converter o volume obtido em comprimento L do reator.
  • A área da seção transversal do tubo é A=\frac{\pi D^{2}}{4}.Com D=0{,}50\\ \text{m}: A=\frac{\pi(0{,}50)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0625\approx 0{,}19635\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O comprimento necessário é L=\frac{V}{A}=\frac{1{,}4}{0{,}19635}\approx 7{,}13\\ \text{m}.

Passo 6

Avaliação do erro e comparação com a solução exata (checagem).
  • A solução analítica da ODE \dfrac{dx}{dV}=a(1-x) com x(0)=0 é
    x(V)=1-e^{-aV}.
    Para x=0{,}90 a solução exata em volume é
    V_{\text{exato}}=\frac{\ln(10)}{a}\approx\frac{2{,}302585}{1{,}6}\approx 1{,}4391\\ \mathrm{m^{3}}.
    Convertendo:
    L_{\text{exato}}=\frac{1{,}4391}{0{,}19635}\approx 7{,}33\\ \text{m}.
  • Comparação: o método de Euler com \Delta V=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}} deu L\approx 7{,}13\\ \text{m}, que está próximo do valor exato 7{,}33\\ \text{m}. A diferença é pequena (cerca de 2{,}7\% em comprimento). Se quiser reduzir o erro, diminuir \Delta V (por exemplo \Delta V=0{,}01\\ \mathrm{m^{3}}) melhora a aproximação ao custo de mais passos.
  • Motivação prática: para uma verificação numérica rápida e mão-na-massa, \Delta V=0{,}1\\ \mathrm{m^{3}} é suficiente; para projeto final recomenda-se rodar com passo menor (ou usar a solução analítica).

Resposta

L\approx 7{,}13\\ \text{m}

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