Como engenheiro de processos em uma empresa de processamento químico, você foi designado para ampliar um processo para o melhor e mais recente produto químico de sua empresa. Entre uma das etapas da reação, é necessário resfriar a solução de forma rápida e eficiente a partir de 330 K antes de permitir que ela entre na próxima etapa. Pelo seu conhecimento anterior, você sabe que é necessário um trocador de calor. Você decide usar água fria, que é esperado que saia a 250 K , como refrigerante, uma vez que é relativamente barato. Para permitir que os engenheiros da planta no futuro tenham mais controle, crie um modelo, utilizando o método de Euler, para determinar quando esse processo irá estabilizar termicamente e represente graficamente o perfil de temperatura do fluxo de saída do lado do tubo. Você pode assumir que há condução perfeita através do metal do fluido do lado do casco para o fluido do lado do tubo, e essa condução é descrita pelo coeficiente de transferência de calor, k, entre os dois fluidos.

Informações gerais relevantes:

\mathrm{L}=1 \mathrm{~m} (Comprimento)
\mathrm{k}=450000 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2^{*} \mathrm{~K} (coeficiente de transferência de calor entre os fluidos do casco e do tubo)
Área de troca de calor =1 \mathrm{~m}^{2}

Informações sobre fluido lado casco (água fria)

Tcs=250 K (temperatura de saída do fluido do lado do casco)

Informações sobre o fluido lateral do tubo (solução)

Cpt=1200 J/kg*K (capacidade térmica do fluido do lado do tubo)
Tte=330 K (temperatura de entrada do fluido do lado do tubo)
\rho \mathrm{t}=1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{\wedge} 3 (densidade do fluido do lado do tubo)
Fte =\mathrm{Fts}=0,2 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s} (vazão volumétrica do fluido do lado do tubo, fluxo de entrada igual saída)
Balanço de Energia para o lado tubo:
\begin{gathered} E-S=A+T \\\ E=\rho t \cdot C p t \cdot F t e \cdot T t e \\\ S=\rho t \cdot C p t \cdot F t s \cdot T t s \\\ A=m \cdot C p t \cdot \frac{d T, t}{d t} \\\ T=K \cdot A \cdot(T t s-T c s) \end{gathered}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Criar um modelo numérico (usando o método de Euler) que descreva a evolução temporal da temperatura de saída do fluido do lado do tubo (denotada por T_{ts}(t)).
  • Determinar quando o processo estabiliza termicamente (isto é, quanto tempo leva para a temperatura se aproximar do regime estacionário).
  • Representar graficamente o perfil de temperatura do fluxo de saída do lado do tubo (instruções e dados para plotar).
Informações fornecidas (peguei esses valores do enunciado):
  • Comprimento: L=1\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: k=450000\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Área de troca térmica: A_{\text{heat}}=1\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Temperatura do fluido do casco (água fria), saída: T_{cs}=250\\ \mathrm{K}.
  • Calor específico do fluido do tubo: C_{p,t}=1200\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Temperatura de entrada do fluido do tubo: T_{te}=330\\ \mathrm{K}.
  • Densidade do fluido do tubo: \rho_t=1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Vazão volumétrica do fluido do tubo (entrada = saída): F_{t}=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
O enunciado também dá o balanço de energia do lado do tubo (vou usá-lo para derivar a equação diferencial que modela T_{ts}(t)).

Passo 2

Montando o balanço de energia e interpretando cada termo (explicação didática).
  • A ideia: considerar um volume de fluido dentro do tubo (controle) com massa total m. O balanço de energia por unidade de tempo (potências) é:
\text{energia entrando} - \text{energia saindo} = \text{acumulação no volume} + \text{calor perdido ao casco}.çã
  • Em fórmulas (usando as letras do enunciado):
E - S = A + Q,
onde
E=\rho_t C_{p,t} F_t T_{te}\quad(\text{energia entrando por segundo}),
S=\rho_t C_{p,t} F_t T_{ts}\quad(\text{energia saindo por segundo}),
A = m C_{p,t} \frac{d T_{ts}}{d t}\quad(\text{acumulação térmica no volume}),çãé
Q = k \, A_{\text{heat}} \left(T_{ts}-T_{cs}\right)\quad(\text{taxa de calor transferida do fluido do tubo para o casco}).
  • Reorganizando para obter a equação diferencial para T_{ts}(t):
m C_{p,t}\frac{d T_{ts}}{d t} = \rho_t C_{p,t} F_t\left(T_{te}-T_{ts}\right) - k A_{\text{heat}} \left(T_{ts}-T_{cs}\right).
  • Dividindo por m C_{p,t} (para isolar \dfrac{dT_{ts}}{dt}):
\frac{d T_{ts}}{d t} = \underbrace{\frac{\rho_t F_t}{m}}_{a}\left(T_{te}-T_{ts}\right) \;-\; \underbrace{\frac{k A_{\text{heat}}}{m C_{p,t}}}_{b}\left(T_{ts}-T_{cs}\right).
  • Comentário: a equação tem a forma linear
\frac{dT}{dt} = a(T_{te}-T) - b(T-T_{cs}),
com a e b > 0. Isso significa que existem dois efeitos competindo: enchimento/renovação do fluido (termo com a) que tende a trazer a temperatura para T_{te}, e perda de calor para o casco (termo com b) que tende a levar T na direção de T_{cs}.

Passo 3

Calcular a massa de fluido no tubo m a partir dos dados disponíveis (explico passo a passo).
  • Não foi dada explicitamente a área de seção transversal do tubo, mas foi dada a área de troca térmica A_{\text{heat}}=1\\ \mathrm{m^{2}} para um comprimento L=1\\ \mathrm{m}. Se a área lateral do tubo ao longo do comprimento é A_{\text{heat}}= \text{circunferência}\times Lê, então a circunferência do tubo é:
\text{circunferência} = \frac{A_{\text{heat}}}{L} = \frac{1}{1}=1\\ \mathrm{m}.ê
  • Para um tubo circular, circunferência =2\pi r. Logo o raio é
r=\frac{1}{2\pi}\\ \mathrm{m}.
  • A área de seção transversal do tubo é
A_{\text{cs}}=\pi r^2 = \pi\left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 = \frac{1}{4\pi}\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}079577\\ \mathrm{m^2}.
  • O volume de fluido no tubo (comprimento L=1\\ \mathrm{m}) é
V = A_{\text{cs}} \cdot L = \frac{1}{4\pi}\cdot 1 = \frac{1}{4\pi}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}079577\\ \mathrm{m^3}.
  • A massa contida no tubo é
m = \rho_t \, V = 1030 \times \frac{1}{4\pi}\\ \mathrm{kg} \approx 81{,}964\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular os coeficientes numéricos a e b e escrever a ODE com valores numéricos.
  • Primeiro:
a=\frac{\rho_t F_t}{m}=\frac{1030 \times 0{,}2}{81{,}964}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 2{,}513\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Em seguida:
b=\frac{k A_{\text{heat}}}{m C_{p,t}}=\frac{450000 \times 1}{81{,}964 \times 1200}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 4{,}576\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Portanto a equação numérica é
\frac{dT_{ts}}{dt} = 2{,}513\left(330 - T_{ts}\right) - 4{,}576\left(T_{ts}-250\right).
  • Podemos rearranjar em forma padrão:
\frac{dT_{ts}}{dt} = -\left(2{,}513+4{,}576\right)T_{ts} + \left(2{,}513\cdot 330 + 4{,}576\cdot 250\right).
Cálculos das constantes:
2{,}513+4{,}576 = 7{,}089\\ \mathrm{s^{-1}},
2{,}513\cdot 330 = 829{,}29,\qquad 4{,}576\cdot 250 = 1{,}144{,}00,
\Rightarrow \frac{dT_{ts}}{dt} = -7{,}089\,T_{ts} + 1{,}973{,}29.

Passo 5

Determinar temperatura de regime (estado estacionário) e discutir estabilidade.
  • No regime estacionário \dfrac{dT_{ts}}{dt}=0. Então
0 = -7{,}089\,T_{ss} + 1{,}973{,}29 \quad\Rightarrow\quad T_{ss} = \frac{1{,}973{,}29}{7{,}089}.
  • Calculando:
T_{ss}\approx 278{,}44\\ \mathrm{K}.
  • Interpretação física: o equilíbrio entre renovação do fluido (que tende a manter T em 330\\ \mathrm{K}) e o resfriamento pelo casco (que puxa T para 250\\ \mathrm{K}) resulta em um ponto intermediário T_{ss}\approx 278{,}44\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Análise temporal e tempo típico de estabilização (solução analítica para referência).
  • A equação é linear de coeficiente constante; a solução analítica (com T_{ts}(0)=T_{0}) é:
T_{ts}(t) = T_{ss} + \left(T_{0}-T_{ss}\right)e^{-(a+b)\,t}.
  • Aqui a+b=7{,}089\\ \mathrm{s^{-1}}. O tempo característico (constante de tempo) é
\tau = \frac{1}{a+b} \approx \frac{1}{7{,}089}\\ \mathrm{s} \approx 0{,}141\\ \mathrm{s}.
  • Para quantificar “quando estabiliza” escolha uma tolerância prática. Ex.: considerar estabilizado quando |T_{ts}(t)-T_{ss}| \le 0{,}1\\ \mathrm{K}.
  • Supondo estado inicial T_{0}=T_{te}=330\\ \mathrm{K}, a diferença inicial é \Delta_0 = 330 - 278{,}44 = 51{,}56\\ \mathrm{K}. Para atingir \Delta(t)\le 0{,}1 usamos:
\Delta(t) = \Delta_0 e^{-(a+b)t} \le 0{,}1 \quad\Rightarrow\quad t \ge -\frac{1}{a+b}\ln\!\left(\frac{0{,}1}{\Delta_0}\right).
  • Calculando:
t \ge -\frac{1}{7{,}089}\ln\!\left(\frac{0{,}1}{51{,}56}\right)\approx 0{,}88\\ \mathrm{s}.
  • Conclusão: com a tolerância escolhida 0{,}1\\ \mathrm{K}, o sistema estabiliza em aproximadamente 0{,}9\\ \mathrm{s}. Se aceitarmos tolerâncias maiores (p. ex. 1\\ \mathrm{K}) o tempo seria ainda menor.

Passo 7

Montando o modelo numérico pelo método de Euler (passo a passo para implementar na prática).
  • Método explícito de Euler (fácil de aplicar em prova/planta):
T_{n+1} = T_n + \Delta t\cdot f(T_n),
onde f(T) = a(T_{te}-T) - b(T-T_{cs}).
  • Escrevendo explicitamente:
T_{n+1} = T_n + \Delta t\left[2{,}513\,(330-T_n) - 4{,}576\,(T_n-250)\right].
  • Escolha de \Delta t: para estabilidade do Euler explícito, convém escolher \Delta t menor que 2/(a+b). Aqui 2/(a+b)\approx 0{,}282\\ \mathrm{s}. Eu recomendo \Delta t=0{,}01\\ \mathrm{s} ou 0{,}005\\ \mathrm{s} — pequeno o suficiente para precisão.
  • Algoritmo prático:
    1. Inicialize t=0,\; T_0=330\\ \mathrm{K},\; \Delta t=0{,}01\\ \mathrm{s}.
    2. Calcule T_{n+1} pela fórmula de Euler.
    3. Atualize t\leftarrow t+\Delta t e repita até |T_{n+1}-T_n| < \varepsilon (critério de convergência) ou até t atingir um tempo máximo desejado.
    4. Sugestão de critério: \varepsilon=10^{-3}\\ \mathrm{K} ou \varepsilon=0{,}1\\ \mathrm{K} conforme necessidade de precisão.
  • Exemplos de valores (usando a solução analítica como referência — o Euler com \Delta t=0{,}01 dará números praticamente iguais):
\begin{array}{lcl} t=0{,}00\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T=330{,}00\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}01\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 326{,}47\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}05\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 314{,}62\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}10\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 303{,}80\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}20\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 290{,}95\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}50\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 279{,}93\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=0{,}88\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 278{,}54\\ \mathrm{K}\\[2pt] t=1{,}00\\ \mathrm{s} &\Rightarrow& T\approx 278{,}48\\ \mathrm{K}\\\ \end{array}
Esses valores mostram que a temperatura praticamente alcança T_{ss} em menos de 1\\ \mathrm{s}.
  • Como gerar o gráfico (passos práticos):
    • Implementar o loop de Euler no Python/Matlab/Excel para obter vetores t e T.
    • Plotar T no eixo vertical e t no eixo horizontal. Marcar T_{ss} como linha horizontal de referência e indicar o tempo de convergência (por exemplo, quando |T-T_{ss}|\le 0{,}1\\ \mathrm{K}).
    • Observação: por ser um decaimento exponencial rápido (constante de tempo 0{,}141\\ \mathrm{s}), escolha eixo de tempo que mostre 0 a 2 s para ver a queda completa.]

Passo 8

Discussão final, verificação e recomendações (dicas de prova e planta).
  • Verificação rápida: a solução analítica e o Euler com passo pequeno coincidem, então o modelo está consistente.
  • Interpretação prática: o trocador com esses parâmetros (coeficiente k muito alto e área 1\\ \mathrm{m^2}) resfria muito rapidamente o fluido do tubo para uma temperatura de regime \approx 278{,}4\\ \mathrm{K}.
  • Recomendações: em projeto real confirmar volumes, área de transferência e distribuição de frio (assumi tubo circular simples e área lateral igual a 1\\ \mathrm{m^2}). Se o volume real for diferente, recomputar m e reavaliar a e b.
  • Observação de prova: para responder rapidamente numa prova, derive a ODE, calcule a e b, determine T_{ss} (divisão simples) e estime o tempo com a constante de tempo \tau=1/(a+b). Se pedirem Euler, implemente a fórmula simples mostrada no Passo 7 com um \Delta t seguro (p.ex. 0{,}01\\ \mathrm{s}).

Resposta

T_{ss}\approx 278{,}44\\ \mathrm{K}
Tempo para |T(t)-T_{ss}|\le 0{,}1\\ \mathrm{K}:\\ t\approx 0{,}88\\ \mathrm{s}

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