Como engenheiro de processos em uma empresa de processamento químico, você foi designado para ampliar um processo para o melhor e mais recente produto químico de sua empresa. Entre uma das etapas da reação, é necessário resfriar a solução de forma rápida e eficiente a partir de 330 K antes de permitir que ela entre na próxima etapa. Pelo seu conhecimento anterior, você sabe que é necessário um trocador de calor. Você decide usar água fria, que é esperado que saia a 250 K , como refrigerante, uma vez que é relativamente barato. Para permitir que os engenheiros da planta no futuro tenham mais controle, crie um modelo, utilizando o método de Euler, para determinar quando esse processo irá estabilizar termicamente e represente graficamente o perfil de temperatura do fluxo de saída do lado do tubo. Você pode assumir que há condução perfeita através do metal do fluido do lado do casco para o fluido do lado do tubo, e essa condução é descrita pelo coeficiente de transferência de calor, k, entre os dois fluidos.
Informações gerais relevantes:
\mathrm{L}=1 \mathrm{~m} (Comprimento) \mathrm{k}=450000 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2^{*} \mathrm{~K} (coeficiente de transferência de calor entre os fluidos do casco e do tubo)
Área de troca de calor =1 \mathrm{~m}^{2}
Informações sobre fluido lado casco (água fria)
Tcs=250 K (temperatura de saída do fluido do lado do casco)
Informações sobre o fluido lateral do tubo (solução)
Cpt=1200 J/kg*K (capacidade térmica do fluido do lado do tubo)
Tte=330 K (temperatura de entrada do fluido do lado do tubo) \rho \mathrm{t}=1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{\wedge} 3 (densidade do fluido do lado do tubo)
Fte =\mathrm{Fts}=0,2 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s} (vazão volumétrica do fluido do lado do tubo, fluxo de entrada igual saída)
Balanço de Energia para o lado tubo:
\begin{gathered} E-S=A+T \\\ E=\rho t \cdot C p t \cdot F t e \cdot T t e \\\ S=\rho t \cdot C p t \cdot F t s \cdot T t s \\\ A=m \cdot C p t \cdot \frac{d T, t}{d t} \\\ T=K \cdot A \cdot(T t s-T c s) \end{gathered}
Passo 1
O que o problema pede:
Criar um modelo numérico (usando o método de Euler) que descreva a evolução temporal da temperatura de saída do fluido do lado do tubo (denotada por T_{ts}(t)).
Determinar quando o processo estabiliza termicamente (isto é, quanto tempo leva para a temperatura se aproximar do regime estacionário).
Representar graficamente o perfil de temperatura do fluxo de saída do lado do tubo (instruções e dados para plotar).
Informações fornecidas (peguei esses valores do enunciado):
Comprimento: L=1\\ \mathrm{m}.
Coeficiente global de transferência de calor: k=450000\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
Área de troca térmica: A_{\text{heat}}=1\\ \mathrm{m^{2}}.
Temperatura do fluido do casco (água fria), saída: T_{cs}=250\\ \mathrm{K}.
Calor específico do fluido do tubo: C_{p,t}=1200\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Temperatura de entrada do fluido do tubo: T_{te}=330\\ \mathrm{K}.
Densidade do fluido do tubo: \rho_t=1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Vazão volumétrica do fluido do tubo (entrada = saída): F_{t}=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
O enunciado também dá o balanço de energia do lado do tubo (vou usá-lo para derivar a equação diferencial que modela T_{ts}(t)).
Passo 2
Montando o balanço de energia e interpretando cada termo (explicação didática).
A ideia: considerar um volume de fluido dentro do tubo (controle) com massa total m. O balanço de energia por unidade de tempo (potências) é:
\text{energia entrando} - \text{energia saindo} = \text{acumulação no volume} + \text{calor perdido ao casco}.
Em fórmulas (usando as letras do enunciado):
E - S = A + Q,
onde
E=\rho_t C_{p,t} F_t T_{te}\quad(\text{energia entrando por segundo}),
S=\rho_t C_{p,t} F_t T_{ts}\quad(\text{energia saindo por segundo}),
A = m C_{p,t} \frac{d T_{ts}}{d t}\quad(\text{acumulação térmica no volume}),
Q = k \, A_{\text{heat}} \left(T_{ts}-T_{cs}\right)\quad(\text{taxa de calor transferida do fluido do tubo para o casco}).
Reorganizando para obter a equação diferencial para T_{ts}(t):
m C_{p,t}\frac{d T_{ts}}{d t} = \rho_t C_{p,t} F_t\left(T_{te}-T_{ts}\right) - k A_{\text{heat}} \left(T_{ts}-T_{cs}\right).
Dividindo por m C_{p,t} (para isolar \dfrac{dT_{ts}}{dt}):
com a e b > 0. Isso significa que existem dois efeitos competindo: enchimento/renovação do fluido (termo com a) que tende a trazer a temperatura para T_{te}, e perda de calor para o casco (termo com b) que tende a levar T na direção de T_{cs}.
Passo 3
Calcular a massa de fluido no tubo m a partir dos dados disponíveis (explico passo a passo).
Não foi dada explicitamente a área de seção transversal do tubo, mas foi dada a área de troca térmica A_{\text{heat}}=1\\ \mathrm{m^{2}} para um comprimento L=1\\ \mathrm{m}. Se a área lateral do tubo ao longo do comprimento é A_{\text{heat}}= \text{circunferência}\times Lê, então a circunferência do tubo é:
Interpretação física: o equilíbrio entre renovação do fluido (que tende a manter T em 330\\ \mathrm{K}) e o resfriamento pelo casco (que puxa T para 250\\ \mathrm{K}) resulta em um ponto intermediário T_{ss}\approx 278{,}44\\ \mathrm{K}.
Passo 6
Análise temporal e tempo típico de estabilização (solução analítica para referência).
A equação é linear de coeficiente constante; a solução analítica (com T_{ts}(0)=T_{0}) é:
Para quantificar “quando estabiliza” escolha uma tolerância prática. Ex.: considerar estabilizado quando |T_{ts}(t)-T_{ss}| \le 0{,}1\\ \mathrm{K}.
Supondo estado inicial T_{0}=T_{te}=330\\ \mathrm{K}, a diferença inicial é \Delta_0 = 330 - 278{,}44 = 51{,}56\\ \mathrm{K}. Para atingir \Delta(t)\le 0{,}1 usamos:
\Delta(t) = \Delta_0 e^{-(a+b)t} \le 0{,}1 \quad\Rightarrow\quad t \ge -\frac{1}{a+b}\ln\!\left(\frac{0{,}1}{\Delta_0}\right).
Calculando:
t \ge -\frac{1}{7{,}089}\ln\!\left(\frac{0{,}1}{51{,}56}\right)\approx 0{,}88\\ \mathrm{s}.
Conclusão: com a tolerância escolhida 0{,}1\\ \mathrm{K}, o sistema estabiliza em aproximadamente 0{,}9\\ \mathrm{s}. Se aceitarmos tolerâncias maiores (p. ex. 1\\ \mathrm{K}) o tempo seria ainda menor.
Passo 7
Montando o modelo numérico pelo método de Euler (passo a passo para implementar na prática).
Método explícito de Euler (fácil de aplicar em prova/planta):
Escolha de \Delta t: para estabilidade do Euler explícito, convém escolher \Delta t menor que 2/(a+b). Aqui 2/(a+b)\approx 0{,}282\\ \mathrm{s}. Eu recomendo \Delta t=0{,}01\\ \mathrm{s} ou 0{,}005\\ \mathrm{s} — pequeno o suficiente para precisão.
Esses valores mostram que a temperatura praticamente alcança T_{ss} em menos de 1\\ \mathrm{s}.
Como gerar o gráfico (passos práticos):
Implementar o loop de Euler no Python/Matlab/Excel para obter vetores t e T.
Plotar T no eixo vertical e t no eixo horizontal. Marcar T_{ss} como linha horizontal de referência e indicar o tempo de convergência (por exemplo, quando |T-T_{ss}|\le 0{,}1\\ \mathrm{K}).
Observação: por ser um decaimento exponencial rápido (constante de tempo 0{,}141\\ \mathrm{s}), escolha eixo de tempo que mostre 0 a 2 s para ver a queda completa.]
Passo 8
Discussão final, verificação e recomendações (dicas de prova e planta).
Verificação rápida: a solução analítica e o Euler com passo pequeno coincidem, então o modelo está consistente.
Interpretação prática: o trocador com esses parâmetros (coeficiente k muito alto e área 1\\ \mathrm{m^2}) resfria muito rapidamente o fluido do tubo para uma temperatura de regime \approx 278{,}4\\ \mathrm{K}.
Recomendações: em projeto real confirmar volumes, área de transferência e distribuição de frio (assumi tubo circular simples e área lateral igual a 1\\ \mathrm{m^2}). Se o volume real for diferente, recomputar m e reavaliar a e b.
Observação de prova: para responder rapidamente numa prova, derive a ODE, calcule a e b, determine T_{ss} (divisão simples) e estime o tempo com a constante de tempo \tau=1/(a+b). Se pedirem Euler, implemente a fórmula simples mostrada no Passo 7 com um \Delta t seguro (p.ex. 0{,}01\\ \mathrm{s}).
Resposta
T_{ss}\approx 278{,}44\\ \mathrm{K}
Tempo para |T(t)-T_{ss}|\le 0{,}1\\ \mathrm{K}:\\ t\approx 0{,}88\\ \mathrm{s}