Sejam A=(-1,2,-1), B=(5,1,1), C=(-2,-1,1) e D=(6,-1,-3) vértices de um tetraedro, calcular o volume deste tetraedro. Obs.: Volume do Tetraedro =16 Volume do Paralelepípedo, formado pelos vetores u, v e w.

Passo 1

O enunciado dá os vértices A=(-1,2,-1), B=(5,1,1), C=(-2,-1,1) e D=(6,-1,-3) de um tetraedro e pede seu volume. Vamos usar a fórmula
Volume do tetraedro = 16l|detl(AB,AC,ADr)r|
que é tfrac16 do volume do paralelepípedo gerado pelos vetores AB, AC e AD.

Passo 2

Escolhemos o vértice A como origem dos vetores e calculamos:
AB = B - A = (5-(-1),,1-2,,1-(-1)) = (6,,-1,,2),
AC = C - A = (-2-(-1),,-1-2,,1-(-1)) = (-1,,-3,,2),
AD = D - A = (6-(-1),,-1-2,,-3-(-1)) = (7,,-3,,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD usando determinante:
ACtimesAD = i & j & k -1 & -3 & 2 7 & -3 & -2 = l((-3)(-2)-2(-3),;-[(-1)(-2)-2cdot7],;(-1)(-3)-(-3)cdot7r) = (12,,12,,24)

Passo 4

Agora o produto misto é
ABcdotl(ACtimesADr) = (6,,-1,,2)cdot(12,,12,,24) = 6cdot12 + (-1)cdot12 + 2cdot24 = 72 -12 +48 = 108

Passo 5

Por fim, o volume do tetraedro é
Volume = 16l|108r| = 18

Resposta

18

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