Isolar os zeros da função:
f(x)=e^{x}+x^{2}-2

Passo 1

O que o enunciado pede: isolar os zeros da função f dada por
f(x)=e^{x}+x^{2}-2.
Ou seja, encontrar os valores de x tais que f(x)=0.
Informações dadas / relevantes:
  • A função é f(x)=e^{x}+x^{2}-2.
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (pois e^{x} e x^{2} existem para todo real).
  • Nosso objetivo é encontrar intervalos (pequenos) que contenham cada raiz real de f, e, quando possível, aproximá‑las numericamente.

Passo 2

Propriedades úteis da função (explicadas passo a passo e sem pular etapas).
  1. Continuidade e diferenciabilidade: e^{x} e x^{2} são funções contínuas e diferenciáveis em todo \mathbb{R}; portanto f também é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}. Isso é importante porque a continuidade permite usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  2. Derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}+x^{2}-2\big)=e^{x}+2x,
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}+2x\big)=e^{x}+2.
Observe que e^{x}>0 para todo x, então
f''(x)=e^{x}+2>0\quad\text{para todo }x.
Isto diz que f é estritamente convexa em todo \mathbb{R} (curva “sempre virada para cima”). Para uma função convexa, a reta y=0 pode intersectá‑la em no máximo duas pontos; portanto f pode ter 0, 1 ou 2 raízes reais. Essa informação nos ajuda a concluir o número de raízes assim que mostrarmos que existem pelo menos duas mudanças de sinal.

Passo 3

Usando o Teorema do Valor Intermediário para encontrar intervalos onde há mudança de sinal (e, portanto, raiz).
Calcule f em alguns pontos convenientes (vou mostrar cada cálculo aproximado e explicar de onde vem o número usado para e^{x}):
  • Em x=0:
f(0)=e^{0}+0^{2}-2=1+0-2=-1.
Logo f(0)=-1 (negativo).
  • Em x=1:
f(1)=e^{1}+1^{2}-2=e+1-2=e-1\approx 2{,}71828-1\approx 1{,}71828>0.
Aqui usei a aproximação e\approx 2{,}718281828. Como f(0)<0 e f(1)>0, por TVI existe pelo menos uma raiz em (0,1).
  • Em x=-1:
f(-1)=e^{-1}+(-1)^{2}-2=e^{-1}+1-2=e^{-1}-1\approx 0{,}36788-1\approx -0{,}63212.
(usei e^{-1}\approx0{,}367879). Então f(-1)<0.
  • Em x=-2:
f(-2)=e^{-2}+(-2)^{2}-2=e^{-2}+4-2=e^{-2}+2\approx 0{,}13534+2\approx 2{,}13534>0.
(usei e^{-2}\approx0{,}135335). Como f(-2)>0 e f(-1)<0, por TVI existe pelo menos uma raiz em (-2,-1).
Resumo desta etapa: encontramos uma raiz em (0,1) e outra raiz em (-2,-1). Como f é convexa (veja Passo 2), não pode haver mais de duas raízes. Logo existem exatamente duas raízes reais.

Passo 4

Escolha do método para isolar melhor as raízes e justificativa.
Optei por usar um método simples e robusto (bissecção e pequenas interpolações) junto com avaliações diretas de f em pontos racionais (que podemos aproximar sem grandes complicações). Motivo: bissecção só usa mudanças de sinal e convergência garantida; não exige habilidades avançadas nem fórmulas especiais. Como já provamos a existência de exatamente duas raízes, vamos refinar intervalos reduzindo-os até obter uma aproximação suficiente (três casas decimais) para cada raiz.

Passo 5

Refinamento da raiz negativa (a que está em (-2,-1)) por bissecção interpolada.
Já temos f(-2)>0 e f(-1)<0. Vamos testar pontos intermediários com valores de e^{x} aproximados (mostro de onde vem cada aproximação).
  • Teste em x=-1{,}5:
f(-1{,}5)=e^{-1{,}5}+(-1{,}5)^{2}-2=e^{-1{,}5}+2{,}25-2=e^{-1{,}5}+0{,}25.
Usando e^{-1{,}5}\approx 0{,}223130, obtemos
f(-1{,}5)\approx 0{,}223130+0{,}25=0{,}473130>0.
Logo a raiz está em (-1{,}5,-1).
  • Teste em x=-1{,}3:
f(-1{,}3)=e^{-1{,}3}+1{,}69-2=e^{-1{,}3}-0{,}31.
Usando e^{-1{,}3}\approx 0{,}272532,
f(-1{,}3)\approx 0{,}272532-0{,}31=-0{,}037468<0.
Então a raiz está em (-1{,}5,-1{,}3).
  • Teste em x=-1{,}4:
f(-1{,}4)=e^{-1{,}4}+1{,}96-2=e^{-1{,}4}-0{,}04.
Com e^{-1{,}4}\approx0{,}246597,
f(-1{,}4)\approx0{,}246597-0{,}04=0{,}206597>0.
Agora a raiz está em (-1{,}4,-1{,}3).
  • Teste em x=-1{,}32 e x=-1{,}31 para afinar:
    Para x=-1{,}32:
e^{-1{,}32}\approx0{,}26698\quad\text{(aprox.)},\quad x^{2}=1{,}7424,\quad x^{2}-2=-0{,}2576,
f(-1{,}32)\approx0{,}26698-0{,}2576=0{,}00938>0.
Para x=-1{,}31:
e^{-1{,}31}\approx0{,}26924,\quad x^{2}=1{,}7161,\quad x^{2}-2=-0{,}2839,
f(-1{,}31)\approx0{,}26924-0{,}2839=-0{,}01466<0.
Portanto a raiz está em (-1{,}32,-1{,}31).
  • Interpolação linear rápida entre -1{,}32 (onde f\approx0{,}00938) e -1{,}31 (onde f\approx-0{,}01466):
    aproximação da raiz
x\approx -1{,}32+\frac{0{,}00938}{0{,}00938-(-0{,}01466)}\cdot 0{,}01 = -1{,}32+\frac{0{,}00938}{0{,}02404}\cdot 0{,}01\approx -1{,}316.
Verificação rápida (com aproximações usadas antes) dá f(-1{,}316) muito próximo de zero (ordem 10^{-4}), então uma boa aproximação com três casas decimais é x\approx -1{,}316.

Passo 6

Refinamento da raiz positiva (a que está em (0,1)) por bissecção/interpolação.
Já temos f(0)=-1 e f(1)>0. Vamos refinar:
  • Teste em x=0{,}5:
f(0{,}5)=e^{0{,}5}+0{,}25-2\approx 1{,}648721+0{,}25-2=-0{,}101279<0.
  • Teste em x=0{,}6:
f(0{,}6)=e^{0{,}6}+0{,}36-2\approx 1{,}822119+0{,}36-2=0{,}182119>0.
Logo raiz em (0{,}5,0{,}6).
  • Teste em x=0{,}55:
f(0{,}55)=e^{0{,}55}+0{,}3025-2\approx 1{,}733253+0{,}3025-2=0{,}035753>0.
Assim raiz em (0{,}5,0{,}55).
  • Teste em x=0{,}525:
f(0{,}525)=e^{0{,}525}+0{,}275625-2\approx 1{,}6904+0{,}275625-2=-0{,}033975<0.
Então raiz em (0{,}525,0{,}55).
  • Teste em x=0{,}5375:
    calcule e^{0{,}5375} com série (ou expansão pequena); usando aproximações:
e^{0{,}5375}\approx 1{,}71172\quad(\text{aprox.}), \quad x^{2}=0{,}5375^{2}=0{,}28901375,
f(0{,}5375)\approx 1{,}71172+0{,}28901375-2\approx -0{,}00027\\ (\text{aprox. muito próximo de }0).ó
  • Teste em x=0{,}5376 para confirmar sinal:
e^{0{,}5376}\approx1{,}711997\quad(\text{aprox.}),\quad x^{2}\approx0{,}289014,
f(0{,}5376)\approx 1{,}711997+0{,}289014-2\approx 0{,}00101>0.
Portanto a raiz está em (0{,}5375,0{,}5376).
  • Interpolação entre esses dois pontos (valores muito pequenos) leva a uma raiz aproximada
x\approx 0{,}5375+\frac{0{,}00027}{0{,}00027+0{,}00101}\cdot 0{,}0001\approx 0{,}5375\;+\;0{,}0001\cdot 0{,}211\approx 0{,}53752\approx 0{,}537.
Com três casas decimais a aproximação é x\approx 0{,}537. (Se quisermos mais precisão numérica podemos aplicar Newton a partir de 0{,}5375, mas para isolar e apresentar com três casas decimais isso é suficiente.)

Passo 7

Resumo do raciocínio e comentários finais (motivação e como aplicar em prova).
  • Usei o Teorema do Valor Intermediário (avaliar f em pontos para encontrar mudanças de sinal) para garantir existência de raízes em (-2,-1) e em (0,1).
  • Mostrei que f''(x)=e^{x}+2>0 para todo x, logo f é convexa e pode ter no máximo duas raízes; combinando com as duas mudanças de sinal, concluímos que existem exatamente duas raízes reais.
  • Para “isolar” as raízes refinei os intervalos por bissecção/interpolação simples até obter intervalos muito pequenos contendo cada raiz e então dei uma aproximação numérica com três casas decimais.
  • Em prova: basta apontar os intervalos iniciais por TVI ( (-2,-1) e (0,1)), justificar que há no máximo duas raízes usando f''(x)>0, e então refinar por bissecção até a precisão desejada.

Resposta

-1,316
0,537

Exercícios relacionados