Isolar os zeros da função:
Passo 1
O que o enunciado pede: isolar os zeros da função
dada por
Ou seja, encontrar os valores de
tais que
.
Informações dadas / relevantes:
- A função é
. - A função está definida para todo
(pois e existem para todo real). - Nosso objetivo é encontrar intervalos (pequenos) que contenham cada raiz real de
, e, quando possível, aproximá‑las numericamente.
Passo 2
Propriedades úteis da função (explicadas passo a passo e sem pular etapas).
-
Continuidade e diferenciabilidade:
e são funções contínuas e diferenciáveis em todo ; portanto também é contínua e diferenciável em todo . Isso é importante porque a continuidade permite usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se e tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . -
Derivadas:
Observe que
para todo
, então
Isto diz que
é estritamente convexa em todo
(curva “sempre virada para cima”). Para uma função convexa, a reta
pode intersectá‑la em no máximo duas pontos; portanto
pode ter 0, 1 ou 2 raízes reais. Essa informação nos ajuda a concluir o número de raízes assim que mostrarmos que existem pelo menos duas mudanças de sinal.
Passo 3
Usando o Teorema do Valor Intermediário para encontrar intervalos onde há mudança de sinal (e, portanto, raiz).
Calcule
em alguns pontos convenientes (vou mostrar cada cálculo aproximado e explicar de onde vem o número usado para
):
- Em
:
Logo
(negativo).
- Em
:
Aqui usei a aproximação
. Como
e
, por TVI existe pelo menos uma raiz em
.
- Em
:
(usei
). Então
.
- Em
:
(usei
). Como
e
, por TVI existe pelo menos uma raiz em
.
Resumo desta etapa: encontramos uma raiz em
e outra raiz em
. Como
é convexa (veja Passo 2), não pode haver mais de duas raízes. Logo existem exatamente duas raízes reais.
Passo 4
Escolha do método para isolar melhor as raízes e justificativa.
Optei por usar um método simples e robusto (bissecção e pequenas interpolações) junto com avaliações diretas de
em pontos racionais (que podemos aproximar sem grandes complicações). Motivo: bissecção só usa mudanças de sinal e convergência garantida; não exige habilidades avançadas nem fórmulas especiais. Como já provamos a existência de exatamente duas raízes, vamos refinar intervalos reduzindo-os até obter uma aproximação suficiente (três casas decimais) para cada raiz.
Passo 5
Refinamento da raiz negativa (a que está em
) por bissecção interpolada.
Já temos
e
. Vamos testar pontos intermediários com valores de
aproximados (mostro de onde vem cada aproximação).
- Teste em
:
Usando
, obtemos
Logo a raiz está em
.
- Teste em
:
Usando
,
Então a raiz está em
.
- Teste em
:
Com
,
Agora a raiz está em
.
- Teste em
e para afinar:
Para:
Para
:
Portanto a raiz está em
.
- Interpolação linear rápida entre
(onde ) e (onde ):
aproximação da raiz
Verificação rápida (com aproximações usadas antes) dá
muito próximo de zero (ordem
), então uma boa aproximação com três casas decimais é
.
Passo 6
Refinamento da raiz positiva (a que está em
) por bissecção/interpolação.
Já temos
e
. Vamos refinar:
- Teste em
:
- Teste em
:
Logo raiz em
.
- Teste em
:
Assim raiz em
.
- Teste em
:
Então raiz em
.
- Teste em
:
calculecom série (ou expansão pequena); usando aproximações:
- Teste em
para confirmar sinal:
Portanto a raiz está em
.
- Interpolação entre esses dois pontos (valores muito pequenos) leva a uma raiz aproximada
Com três casas decimais a aproximação é
. (Se quisermos mais precisão numérica podemos aplicar Newton a partir de
, mas para isolar e apresentar com três casas decimais isso é suficiente.)
Passo 7
Resumo do raciocínio e comentários finais (motivação e como aplicar em prova).
- Usei o Teorema do Valor Intermediário (avaliar
em pontos para encontrar mudanças de sinal) para garantir existência de raízes em e em . - Mostrei que
para todo , logo é convexa e pode ter no máximo duas raízes; combinando com as duas mudanças de sinal, concluímos que existem exatamente duas raízes reais. - Para “isolar” as raízes refinei os intervalos por bissecção/interpolação simples até obter intervalos muito pequenos contendo cada raiz e então dei uma aproximação numérica com três casas decimais.
- Em prova: basta apontar os intervalos iniciais por TVI (
e ), justificar que há no máximo duas raízes usando , e então refinar por bissecção até a precisão desejada.