Questão 2 ( 3,5 pontos) Suponha que a v. a. biodimensional contínua (X, Y) seja uniformemente distribuída sobre o triângulo cujos vértices são (0,1),(-1,0),(0,-1). Determinar:
a) a distribuição conjunta de ( \mathrm{X}, \mathrm{Y} )
b) as distribuições marginais de X e Y
c) calcular a probabilidade do evento ( \mathrm{X}+\mathrm{Y}>0 )

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuída sobre o triângulo com vértices (0,1), (-1,0) e (0,-1). O conteúdo é distribuição conjunta uniforme em uma região do plano. Para resolver, precisamos (1) calcular a área desse triângulo, (2) escrever a densidade conjunta em função da área e da região, (3) obter as marginais integrando a densidade sobre a outra variável, e (4) calcular a probabilidade do evento \{X+Y>0\} integrando no sub‐conjunto correspondente.

Passo 2

Vamos achar a área do triângulo. Note que os segmentos de (-1,0)\) a \((0,1)\) e de \((-1,0)\) a \((0,-1)\) têm comprimentos iguais a \(\sqrt2\) e são perpendiculares (inclinações \(1\) e \(-1\)). Logo é um triângulo retângulo de catetos \(\sqrt2\), cuja área é \[\text{Área} = \tfrac12\bigl(\sqrt2\times\sqrt2\bigr)=1.
Como a densidade é uniforme, a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\text{ dentro do triângulo},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}âá
Para descrever o triângulo em coordenadas: -1\le x\le0\] e para cada \(x,
-y_{\min}=-x-1 \quad\le y\le\quad y_{\max}=x+1.

Passo 3

Marginal de X:
f_X(x)=\int_{y=-x-1}^{\,x+1}1\,dy =(x+1)-(-x-1)=2(x+1),
válida para -1\le x\le0, e f_X(x)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Marginal de Y: para cada y em [-1,1], x varia entre a reta lateral e x=0.
Para -1\le y\le0 a borda esquerda é x=-y-1, então
f_Y(y)=\int_{x=-y-1}^{0}1\,dx = y+1.
Para 0\le y\le1 a borda esquerda é x=y-1, então
f_Y(y)=\int_{x=y-1}^{0}1\,dx = 1-y.
E f_Y(y)=0 se y\notin[-1,1].

Passo 5

Queremos
\,P(X+Y>0)=\iint_{T\cap\{x+y>0\}}1\,dx\,dy.
Para um dado x, y vai de -x até x+1 só quando x+1>-x, ou seja x>-1/2. Assim
P(X+Y>0) =\int_{x=-\tfrac12}^{0}\int_{y=-x}^{\,x+1}1\,dy\,dx =\int_{-1/2}^{0}\bigl[(x+1)-(-x)\bigr]dx =\int_{-1/2}^{0}(2x+1)\,dx =\Bigl[x^2+x\Bigr]_{-1/2}^{0} =1/4.

Resposta

a)
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&-1\le x\le0,\;-x-1\le y\le x+1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
b)
f_X(x)= \begin{cases} 2(x+1),&-1\le x\le0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} y+1,&-1\le y\le0,\\\\ 1-y,&0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}áá
c) \,P(X+Y>0)=\tfrac14.

Exercícios relacionados