Questão 2 ( 3,5 pontos) Suponha que a v. a. biodimensional contínua (X, Y) seja uniformemente distribuída sobre o triângulo cujos vértices são (0,1),(-1,0),(0,-1). Determinar:
a) a distribuição conjunta de ( \mathrm{X}, \mathrm{Y} )
b) as distribuições marginais de X e Y
c) calcular a probabilidade do evento ( \mathrm{X}+\mathrm{Y}>0 )
Passo 1
O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuída sobre o triângulo com vértices (0,1), (-1,0) e (0,-1). O conteúdo é distribuição conjunta uniforme em uma região do plano. Para resolver, precisamos (1) calcular a área desse triângulo, (2) escrever a densidade conjunta em função da área e da região, (3) obter as marginais integrando a densidade sobre a outra variável, e (4) calcular a probabilidade do evento \{X+Y>0\} integrando no sub‐conjunto correspondente.
Passo 2
Vamos achar a área do triângulo. Note que os segmentos de (-1,0)\) a \((0,1)\) e de \((-1,0)\) a \((0,-1)\) têm comprimentos iguais a \(\sqrt2\) e são perpendiculares (inclinações \(1\) e \(-1\)). Logo é um triângulo retângulo de catetos \(\sqrt2\), cuja área é
\[\text{Área} = \tfrac12\bigl(\sqrt2\times\sqrt2\bigr)=1.
Como a densidade é uniforme, a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\text{ dentro do triângulo},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}
Para descrever o triângulo em coordenadas: -1\le x\le0\] e para cada \(x,