- (Q3-ITA/1988) Sejam feg funções reais de variável real definidas por
e
. Então, o domínio de fog é:
a)
b) ]0,1[
c)
d)
e)
Nota: fog é a lei definida por (fo g)(x)=f(g(x)) para cada
de seu domínio.
a)
b) ]0,1[
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- O que é pedido: determinar o domínio de
, isto é, o conjunto de todos os para os quais está bem definido.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
- Para
a expressão sob a raiz deve ser positiva (pois a raiz aparece no denominador e não podemos ter divisão por zero nem raiz de número negativo). Logo exigimos - Resolvendo
obtemos - Portanto o domínio de
é o intervalo
Passo 3
Determinar o domínio de
.
- Para
o argumento do logaritmo precisa ser positivo: - Fatorando:
então queremos - Inequação do produto:
é verdadeira quando os fatores têm o mesmo sinal, isto é, (ambos negativos) ou (ambos positivos). Assim
Passo 4
Condição para
estar no domínio de
e aplicação prática.
- Regra (explicação): para que
exista é preciso que -
esteja em , e -
esteja em .
Ou seja,
Vou aplicar isso com os domínios que já calculei. -
- Já tenho
. Então só posso considerar . - Preciso agora que
satisfaça . Mas observe: - Para
, a raiz é positiva, logo . Portanto nunca é negativo, então não pode cair no ramo de . - Assim a única possibilidade é que
(pertencer ao ramo do domínio de ).
- Para
- Resolver a inequação
lembrando que para a quantidade é positiva (podemos multiplicar sem trocar o sentido da desigualdade). Multiplicando ambos os lados por obtemos Agora elevamos ao quadrado (como ambos os lados são não negativos, isso preserva a desigualdade): Simplificando: - Juntando com a condição
(domínio de ), obtemos - Verificação das fronteiras:
- Em
temos e então , que não está definido. Logo é excluído. - Em
a função já não está definida (divisão por zero), então também é excluído.
- Em
- Conclusão: o conjunto de
que satisfaz todas as condições é o intervalo aberto
Passo 5
Interpretação final e correspondência com as alternativas.
- O domínio de
é . - Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)