1. (Q3-ITA/1988) Sejam feg funções reais de variável real definidas por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}\right) e \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{1}{\sqrt{1-\mathrm{x}}}. Então, o domínio de fog é:
    a) ] 0, \mathrm{e}[
    b) ]0,1[
    c) [ \mathrm{e}, \mathrm{e}+\mathrm{l}]
    d) ]-1,1[
    e) ] 1,+\infty[
Nota: fog é a lei definida por (fo g)(x)=f(g(x)) para cada \mathbf{x} de seu domínio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Funções dadas:
    • f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}-x\bigr).
    • g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}.
  • O que é pedido: determinar o domínio de f\circ g, isto é, o conjunto de todos os x para os quais (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) está bem definido.

Passo 2

Determinar o domínio de g.
  • Para g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}} a expressão sob a raiz deve ser positiva (pois a raiz aparece no denominador e não podemos ter divisão por zero nem raiz de número negativo). Logo exigimos 1-x>0.
  • Resolvendo 1-x>0 obtemos x<1.
  • Portanto o domínio de g é o intervalo \text{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1\}=]-\infty,1[.

Passo 3

Determinar o domínio de f.
  • Para f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}-x\bigr) o argumento do logaritmo precisa ser positivo: x^{2}-x>0.
  • Fatorando: x^{2}-x=x(x-1),então queremos x(x-1)>0.
  • Inequação do produto: x(x-1)>0 é verdadeira quando os fatores têm o mesmo sinal, isto é, x<0 (ambos negativos) ou x>1 (ambos positivos). Assim \text{Dom}(f)=]-\infty,0[\\ \cup\\ ]1,+\infty[.

Passo 4

Condição para x estar no domínio de f\circ g e aplicação prática.
  • Regra (explicação): para que (f\circ g)(x) exista é preciso que
    1. x esteja em \text{Dom}(g), e
    2. g(x) esteja em \text{Dom}(f).
      Ou seja,
    x\in\text{Dom}(g)\quad\text{e}\quad g(x)\in\text{Dom}(f).Vou aplicar isso com os domínios que já calculei.
  • Já tenho \text{Dom}(g)=]-\infty,1[. Então só posso considerar x<1.
  • Preciso agora que g(x) satisfaça g(x)\in]-\infty,0[\\ \cup\\ ]1,+\infty[. Mas observe:
    • Para x<1, a raiz \sqrt{1-x} é positiva, logo g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}>0. Portanto g(x) nunca é negativo, então não pode cair no ramo ]-\infty,0[ de \text{Dom}(f).
    • Assim a única possibilidade é que g(x)>1 (pertencer ao ramo ]1,+\infty[ do domínio de f).
  • Resolver a inequação \frac{1}{\sqrt{1-x}}>1,lembrando que para x<1 a quantidade \sqrt{1-x} é positiva (podemos multiplicar sem trocar o sentido da desigualdade). Multiplicando ambos os lados por \sqrt{1-x}>0 obtemos 1>\sqrt{1-x}.Agora elevamos ao quadrado (como ambos os lados são não negativos, isso preserva a desigualdade): 1>1-x.Simplificando: 1>1-x\quad\Longrightarrow\quad 0>-x\quad\Longrightarrow\quad x>0.
  • Juntando com a condição x<1 (domínio de g), obtemos 0<x<1.
  • Verificação das fronteiras:
    • Em x=0 temos g(0)=1 e então f(g(0))=\ln(1^{2}-1)=\ln 0, que não está definido. Logo x=0 é excluído.
    • Em x=1 a função g já não está definida (divisão por zero), então x=1 também é excluído.
  • Conclusão: o conjunto de x que satisfaz todas as condições é o intervalo aberto ]0,1[.

Passo 5

Interpretação final e correspondência com as alternativas.
  • O domínio de f\circ g é ]0,1[.
  • Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) ]0,1[

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