(Q1-ITA/1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f: R \rightarrow R.
I. Se existe x \in \mathbb{R}, tal que f(x) \neq f(-x), então f não é par;
II. Se existe x \in \mathbb{R}, tal que f(-x)=-f(x), então f é impar.
III. Se \mathbf{f} é par e ímpar, então existe \mathbf{x} \in \mathbb{R} tal que \mathrm{f}(\mathrm{x})=1.
IV. Se f é impar, então fof (f composta com f) é impar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números:
a) 1 e 4
b) 1, 2 e 4
c) 1 e 3
d) 3 e 4
e) 1, 2 e 3

Passo 1

O enunciado dá quatro afirmações sobre uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e pede para identificar quais estão corretas. As afirmações são:
I. Se existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)\neq f(-x), então f não é par.
II. Se existe x\in\mathbb{R} tal que f(-x)=-f(x), então f é ímpar.
III. Se f é par e ímpar, então existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=1.
IV. Se f é ímpar, então f\circ f (função composta f(f(x))) é ímpar.
O que se pede: decidir, com justificativa, quais dessas afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Relembrando definições (passo didático):
  • Dizemos que f é par se, para todo x\in\mathbb{R}, vale
f(-x)=f(x).
Aqui o quantificador é “para todo” ( \forall x).
  • Dizemos que f é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R}, vale
f(-x)=-f(x).
Outra vez é um “para todo”.
Importante distinguir “existe” ( \exists x) de “para todo” ( \forall x): uma propriedade que vale para um único x não implica que valha para todos os x.

Passo 3

Análise da afirmação I: “Se existe x tal que f(x)\neq f(-x), então f não é par.”
Explicação: ser par significa que a igualdade f(x)=f(-x) é verdadeira para todo x. Se encontramos um único x que quebra essa igualdade, isso já contradiz a definição universal. Em lógica: a negação de “ \forall x,\; f(x)=f(-x)” é “ \exists x,\; f(x)\neq f(-x)”. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Resumo: I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmação II: “Se existe x tal que f(-x)=-f(x), então f é ímpar.”
Explicação: ser ímpar exige que a igualdade f(-x)=-f(x) valha para todo x. A hipótese da afirmação II dá apenas a existência de um x que satisfaz a igualdade — isso NÃO garante que a igualdade ocorra para todos os x. Um contraexemplo simples resolve: considere f(x)=x^2. Então
f(-0)=(-0)^2=0 \quad\text{e}\quad -f(0)=-0=0,
logo para x=0 temos f(-0)=-f(0). Assim existe um x (por exemplo x=0) que satisfaz f(-x)=-f(x), mas f não é ímpar (por exemplo para x=1: f(-1)=1\neq -1=-f(1)). Logo a existência de um único x não basta.
Conclusão: II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação III: “Se f é par e ímpar, então existe x tal que f(x)=1.”
Explicação: se f é simultaneamente par e ímpar, então para todo x vale tanto f(-x)=f(x) quanto f(-x)=-f(x). Igualando as duas expressões para f(-x) obtemos
f(x) = -f(x).
Isso implica 2f(x)=0, ou seja
f(x)=0\quad\text{para todo }x.
Portanto a única função que é ao mesmo tempo par e ímpar é a função identicamente zero. Como essa função tem sempre valor 0, não existe x com f(x)=1. Logo a afirmação III é falsa. (Observação: existe sim uma função par e ímpar — a função nula — mas ela nunca atinge o valor 1.)

Passo 6

Análise da afirmação IV: “Se f é ímpar, então f\circ f é ímpar.”
Mostraremos isso passo a passo. Suponha que f é ímpar, isto é, para todo y\in\mathbb{R} vale
f(-y) = -f(y).
Queremos ver se f\circ f satisfaz a condição de imparidade: isto é, se para todo x temos (f\circ f)(-x) = - (f\circ f)(x). Calcule:
(f\circ f)(-x) = f\big(f(-x)\big).
Usando que f é ímpar, f(-x) = -f(x). Substituindo:
(f\circ f)(-x) = f\big(-f(x)\big).
Agora aplicamos a imparidade de f novamente, mas agora com o argumento y=f(x): para todo y vale f(-y)=-f(y), portanto
f\big(-f(x)\big) = -f\big(f(x)\big).
Logo
(f\circ f)(-x) = -f\big(f(x)\big) = - (f\circ f)(x).
Isso mostra que f\circ f é ímpar. Conclusão: IV é verdadeira.

Passo 7

Reunião das verdades/mentiras: I é verdadeira, II é falsa, III é falsa, IV é verdadeira. Portanto as afirmações corretas são I e IV. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 1 e 4

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