(Q1-ITA/1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função
.
I. Se existe
, tal que
, então
não é par;
II. Se existe
, tal que
, então
é impar.
III. Se
é par e ímpar, então existe
tal que
.
IV. Se f é impar, então fof (f composta com f) é impar.
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números:
a) 1 e 4
b) 1, 2 e 4
c) 1 e 3
d) 3 e 4
e) 1, 2 e 3
I. Se existe
II. Se existe
III. Se
IV. Se f é impar, então fof (f composta com f) é impar.
a) 1 e 4
b) 1, 2 e 4
c) 1 e 3
d) 3 e 4
e) 1, 2 e 3
Passo 1
O enunciado dá quatro afirmações sobre uma função
e pede para identificar quais estão corretas. As afirmações são:
I. Se existe tal que
, então
não é par.
II. Se existe tal que
, então
é ímpar.
III. Se é par e ímpar, então existe
tal que
.
IV. Se é ímpar, então
(função composta
) é ímpar.
I. Se existe
II. Se existe
III. Se
IV. Se
O que se pede: decidir, com justificativa, quais dessas afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Relembrando definições (passo didático):
- Dizemos que
é par se, para todo , vale
Aqui o quantificador é “para todo” (
).
- Dizemos que
é ímpar se, para todo , vale
Outra vez é um “para todo”.
Importante distinguir “existe” ( ) de “para todo” (
): uma propriedade que vale para um único
não implica que valha para todos os
.
Importante distinguir “existe” (
Passo 3
Análise da afirmação I: “Se existe
tal que
, então
não é par.”
Explicação: ser par significa que a igualdade é verdadeira para todo
. Se encontramos um único
que quebra essa igualdade, isso já contradiz a definição universal. Em lógica: a negação de “
” é “
”. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Resumo: I é verdadeira.
Explicação: ser par significa que a igualdade
Resumo: I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação II: “Se existe
tal que
, então
é ímpar.”
Explicação: ser ímpar exige que a igualdade valha para todo
. A hipótese da afirmação II dá apenas a existência de um
que satisfaz a igualdade — isso NÃO garante que a igualdade ocorra para todos os
. Um contraexemplo simples resolve: considere
. Então
Explicação: ser ímpar exige que a igualdade
logo para
temos
. Assim existe um
(por exemplo
) que satisfaz
, mas
não é ímpar (por exemplo para
:
). Logo a existência de um único
não basta.
Conclusão: II é falsa.
Conclusão: II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação III: “Se
é par e ímpar, então existe
tal que
.”
Explicação: se é simultaneamente par e ímpar, então para todo
vale tanto
quanto
. Igualando as duas expressões para
obtemos
Explicação: se
Isso implica
, ou seja
Portanto a única função que é ao mesmo tempo par e ímpar é a função identicamente zero. Como essa função tem sempre valor
, não existe
com
. Logo a afirmação III é falsa. (Observação: existe sim uma função par e ímpar — a função nula — mas ela nunca atinge o valor
.)
Passo 6
Análise da afirmação IV: “Se
é ímpar, então
é ímpar.”
Mostraremos isso passo a passo. Suponha que é ímpar, isto é, para todo
vale
Mostraremos isso passo a passo. Suponha que
Queremos ver se
satisfaz a condição de imparidade: isto é, se para todo
temos
. Calcule:
Usando que
é ímpar,
. Substituindo:
Agora aplicamos a imparidade de
novamente, mas agora com o argumento
: para todo
vale
, portanto
Logo
Isso mostra que
é ímpar. Conclusão: IV é verdadeira.
Passo 7
Reunião das verdades/mentiras: I é verdadeira, II é falsa, III é falsa, IV é verdadeira. Portanto as afirmações corretas são I e IV. Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a) 1 e 4