Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(5) (3 x y+y^2) d x+(x^2+x y) d y =0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(3xy+y^2r),dx + l(x^2+xyr),dy = 0
e pede para verificar se é exata. Como não é exata, temos de encontrar um fator integrante e, então, resolver. O conteúdo aqui é o de equações exatas e fatores integrantes que dependem só de x ou só de y.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=3xy+y^2, N(x,y)=x^2+xy
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=3x+2y, partial Npartial x=2x+y
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de x. A condição é
partial Mpartial y-partial Npartial xN =(3x+2y)-(2x+y)x^2+xy =x+yx(x+y) =1x,
que depende apenas de x. Logo
mu(x)=exp!l(integral1x,dxr)=x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x)=x, obtemos
underbracex(3xy+y^2)widetilde M,dx + underbracex(x^2+xy)widetilde N,dy =0,
isto é
widetilde M=3x^2y+xy^2, widetilde N=x^3+x^2y
Agora
partial widetilde Mpartial y=3x^2+2xy, partial widetilde Npartial x=3x^2+2xy,
logo a equação é exata.

Passo 5

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x =widetilde M =3x^2y+xy^2
Integramos em x:
phi(x,y) =integrall(3x^2y+xy^2r),dx =x^3y+tfrac12,x^2y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Calculamos agora
partial phipartial y =x^3 + x^2y + h'(y)
e igualamos a widetilde N:
x^3 + x^2y + h'(y) = x^3 + x^2y Longrightarrow h'(y)=0 ;Rightarrow; h(y)=constante

Passo 7

A solução implícita geral é
phi(x,y)=x^3y+tfrac12,x^2y^2=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação não é exata inicialmente. Um fator integrante é mu(x)=x, e a solução implícita geral é
x^3y+tfrac12x^2y^2=C

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