Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(P.V.I)
.
(P.V.I)
Passo 1
O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem com condição inicial
e pede para verificar se é exata, e se não for, achar fator integrante e a solução geral que satisfaça o P.V.I. Vamos usar teoria de equações exatas e fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Reescrevemos em forma diferencial
multiplicando por
:
Logo
Passo 3
Verificamos exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante
só em
. Usamos a condição
que depende apenas de
. Assim
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
Agora
logo é exata.
Passo 6
Buscamos
tal que
Integramos em
:
Passo 7
Para determinar
usamos
Logo
e
é constante.
Passo 8
A solução implícita geral é
Podemos reescrever como
Passo 9
Aplicando
:
então
.