Verifique se as seguintes E.D.O’s são exatas. Se não forem exatas, determine seu fator integrante e sua solução;
(P.V.I) x y^2 d y / d x=y^3-x^3 ; y(1)=-2.

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O. de primeira ordem com condição inicial
x,y^2,dydx=y^3-x^3, y(1)=-2
e pede para verificar se é exata, e se não for, achar fator integrante e a solução geral que satisfaça o P.V.I. Vamos usar teoria de equações exatas e fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
multiplicando por dx:
x,y^2,dy + l(x^3-y^3r),dx=0
Logo
M(x,y)=x^3-y^3, N(x,y)=x,y^2

Passo 3

Verificamos exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-3y^2, partial Npartial x=y^2
Como -3y^2neq y^2, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante mu(x) só em x. Usamos a condição
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr) =-3y^2-y^2x,y^2 =-4x,
que depende apenas de x. Assim
mu(x)=exp!l(integral -tfrac4x,dxr) =exp(-4ln|x|) = x^-4

Passo 5

Multiplicamos a equação original por x^-4, obtendo
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0
com
M^*=x^-1-x^-4y^3, N^*=x^-3y^2
Agora
partial M^*partial y=-3x^-4y^2, partial N^*partial x=-3x^-4y^2,
logo é exata.

Passo 6

Buscamos psi(x,y) tal que
partialpsipartial x = x^-1-x^-4y^3
Integramos em x:
psi(x,y)=integrall(x^-1-x^-4y^3r),dx =ln|x|+y^33,x^-3+h(y)

Passo 7

Para determinar h(y) usamos
partialpsipartial y =y^2x^3+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=y^2x^3
Logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 8

A solução implícita geral é
psi(x,y)=ln|x|+y^33x^3=C
Podemos reescrever como
y^3x^3+3ln|x|=C'

Passo 9

Aplicando y(1)=-2:
(-2)^31^3+3ln1=-8+0=-8,
então C'=-8.

Resposta

y^3x^3+3ln|x|=-8

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