(ITA/1994) No desenvolvimento de A=(3 a^22+2 m3)^10, a razão entre a parcela contendo o fator a^16 m^2 e a parcela contendo o fator a^14 m^3 é igual a 916. Se a e m são números reais positivos tais que A=(m^2+4)^5, então:
a) a cdot m=23
b) a cdot m=13
c) a+m=52
d) a+m=5
e) a-m=52

Passo 1

O enunciado dá
A = gl(3a^22 + 2m3gr)^10,
e diz que a razão entre o termo com a^16m^2 e o termo com a^14m^3 vale tfrac916. Além disso, sabe-se que
A = l(m^2+4r)^5
O conteúdo aqui é binômio de Newton e manipulação algébrica para encontrar a e m.

Passo 2

No binômio l(X+Yr)^10, o termo geral é
Tk = binom10kX^k Y^10-k
Para X=tfrac3a^22 e Y=tfrac2m3:
  • O termo com a^16m^2 ocorre quando k=8 (pois 2k=16 e 10-k=2).
  • O termo com a^14m^3 ocorre quando k=7 (pois 2k=14 e 10-k=3).
    Logo a razão é
T8T7 = binom108l(tfrac3a^22r)^8l(tfrac2m3r)^2 binom107l(tfrac3a^22r)^7l(tfrac2m3r)^3 = binom108binom107 cdot tfrac3a^221 cdot 1tfrac2m3 = 45120cdot3a^22cdot32m = 27a^232m
Como essa razão vale tfrac916, temos
27a^232m = 916 Longrightarrow 27a^2 = 18m Longrightarrow m = 3a^22

Passo 3

Da outra igualdade
l(tfrac3a^22 + tfrac2m3r)^10 = (m^2+4)^5
tira-se a raiz quinta para obter
l(tfrac3a^22 + tfrac2m3r)^2 = m^2+4
Substituindo m=tfrac3a^22 no lado esquerdo:
tfrac3a^22 + tfrac2m3 = tfrac3a^22 + tfrac23cdottfrac3a^22 = tfrac3a^22 + a^2 = tfrac5a^22
Então
l(tfrac5a^22r)^2 = m^2+4 ;Longrightarrow; 25a^44 = 9a^44 + 4 ;Longrightarrow; 16a^4 = 16 ;Longrightarrow; a^4 = 1 ;Longrightarrow; a = 1
(positivo). Logo
m = 3cdot1^22 = 32

Passo 4

Com a=1 e m=tfrac32:
a+m = 1 + 32 = 52
Isso corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) a+m=tfrac52

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