(Q2-ITA/1997) Seja
fixado. Considere o conjunto
.
Definimos
por
. Se
denota a imagem do conjunto
pela função
, então:
a)
b)
c)
d)
Definimos
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá:
- Um inteiro fixo
com . - O conjunto
. - A função
definida por .
O que se pede: determinar a imagem
, isto é, o conjunto de valores que
assume quando
varia em
. As alternativas são:
,
,
ou
.
Passo 2
Escolho um elemento genérico de
. Seja
, com
e
.
Observação importante (divisibilidade por fatoriais): como
é um inteiro entre
e
, o número
aparece no produto
. Portanto
divide
. Em notação, existe um inteiro
tal que
Passo 3
Usando esse
, calculemos o argumento do cosseno:
Como
e
são inteiros, o produto
é inteiro. Logo
Passo 4
Avaliação do cosseno em múltiplos inteiros de
. Sabemos que
porque
e ao somar
o cosseno muda de sinal:
; aplicando isso
vezes obtém-se
.
Portanto, para o nosso
,
que vale
ou
.
Passo 5
Agora aplicamos a definição de
:
Como
(pois o expoente é par), segue
Passo 6
A conclusão lógica: para qualquer
(lembre que
foi um elemento arbitrário de
) obtemos
. Portanto todos os elementos de
são levados ao valor
, ou seja
.
Também existe pelo menos um
cujo valor imagem é
(por exemplo
), então
. Juntando,