(Q2-ITA/1997) Seja n \in N \operatorname{com} n>1 fixado. Considere o conjunto \mathrm{A}=\left\{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}: \mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathrm{Ze} 0<\mathrm{q}<\mathrm{n}\right\}.
Definimos f: R \rightarrow R por f(x)=[\cos (n!\pi x)]^{2 n}. Se f(A) denota a imagem do conjunto A pela função f, então:
a) \mathrm{f}(\mathrm{A})=]-1,1[
b) f(A)=[0,1]
c) f(A)=\{1\}
d) f(A)=\{0\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um inteiro fixo n\in\mathbb{N} com n>1.
  • O conjunto \displaystyle A=\left\{\frac{p}{q}: p,q\in\mathbb{Z},\\\ 0<q<n\right\}.
  • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=[\cos(n!\pi x)]^{2n}.
O que se pede: determinar a imagem f(A), isto é, o conjunto de valores que f assume quando x varia em A. As alternativas são: ]-1,1[, [0,1], \{1\} ou \{0\}.

Passo 2

Escolho um elemento genérico de A. Seja x=\dfrac{p}{q}\in A, com p,q\in\mathbb{Z} e 0<q<n.
Observação importante (divisibilidade por fatoriais): como q é um inteiro entre 1 e n-1, o número q aparece no produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot n = n!. Portanto q divide n!. Em notação, existe um inteiro k tal que
k=\frac{n!}{q}\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Usando esse k, calculemos o argumento do cosseno:
n!\pi x = n!\pi\cdot\frac{p}{q} = \frac{n!}{q}\,p\,\pi = k p\,\pi.
Como k e p são inteiros, o produto m:=kp é inteiro. Logo
n!\pi x = m\pi\quad\text{com }m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Avaliação do cosseno em múltiplos inteiros de \pi. Sabemos que
\cos(m\pi)=(-1)^m\quad\text{para todo }m\in\mathbb{Z},
porque \cos(0)=1 e ao somar \pi o cosseno muda de sinal: \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta; aplicando isso m vezes obtém-se (-1)^m.
Portanto, para o nosso x,
\cos(n!\pi x)=\cos(m\pi)=(-1)^m,
que vale 1 ou -1.

Passo 5

Agora aplicamos a definição de f:
f(x)=[\cos(n!\pi x)]^{2n} = [(-1)^m]^{2n}.
Como (-1)^{2n} = 1 (pois o expoente é par), segue
f(x)=1.

Passo 6

A conclusão lógica: para qualquer x\in A (lembre que x foi um elemento arbitrário de A) obtemos f(x)=1. Portanto todos os elementos de A são levados ao valor 1, ou seja f(A)\subseteq\{1\}.
Também existe pelo menos um x\in A cujo valor imagem é 1 (por exemplo x=0=\tfrac{0}{1}\in A), então \{1\}\subseteq f(A). Juntando,
f(A)=\{1\}.

Resposta

\{1\}

Exercícios relacionados