- (Q4-ITA/2003) Considere uma função
não-constante e tal que
. Das afirmações:
I.
;
II.
;
III. f é par.
é(são) verdadeira(s):
a) apenas I e II.
b) apenas II e III.
c) apenas I e III.
d) todas.
e) nenhuma.
I.
II.
III. f é par.
é(são) verdadeira(s):
a) apenas I e II.
b) apenas II e III.
c) apenas I e III.
d) todas.
e) nenhuma.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
, não-constante, que satisfaz
As afirmações a testar são:
I. .
II.
III. é par (ou seja,
).
I.
II.
III.
A pergunta pede escolher qual das alternativas (a)–(e) corresponde às afirmações verdadeiras.
Passo 2
Primeiras consequências elementares da equação funcional (essas são as coisas que sempre convém checar):
- Valor em zero. Tomando
na relação dada:
Se
não for identicamente zero, então existe algum
com
, e daí a igualdade implica
. Se
então, para todo
,
ou seja
seria a função zero (constante), o que contradiz a hipótese “não-constante”. Logo necessariamente
- Não anula. Se houvesse
com , então para qualquer
novamente
seria identicamente zero. Como
não é constante zero, concluímos que
- Valor em
. Tomando na relação:
logo
Essas três observações vão ser úteis para analisar I–III.
Passo 3
Prova da afirmação II (esta é a mais direta e sempre verdadeira para
):
Vamos provar por indução em
que
Base
: é trivial, pois
.
Passo indutivo: suponha que a propriedade vale para algum
, isto é
. Então, usando a equação funcional,
Assim vale para
. Por indução, a fórmula vale para todo
. Portanto a afirmação II é verdadeira.
Observação pedagógica: a razão pela qual isso funciona é que a equação funcional transforma soma de argumentos em produto de valores, e somar
vezes corresponde a multiplicar
vezes — exatamente o enunciado.
Passo 4
Prova da afirmação I (positividade de
):
Já vimos que
para todo
. Vamos mostrar que
para todo
(ou seja,
nunca é negativa). Suponha, por absurdo, que exista
tal que
. Considere
. Usando a função duas vezes:
Mas
para todo
real (quadrado de número real não é negativo), então o lado direito é
, enquanto o lado esquerdo
foi assumido negativo. Contradição. Portanto não existe tal
; assim
Logo a afirmação I é verdadeira.
Comentário intuitivo: a propriedade de dividir argumentos (usar
) é crucial — é um truque clássico: se houvesse valor negativo ele teria de ser quadrado de outro valor, o que é impossível.
Passo 5
Análise da afirmação III (paridade):
Da observação do Passo 2 temos
Para
ser par precisaríamos ter
para todo
, isto é
Isso implicaria que
para todo
. Se
para todo
então
é a função constante
(essa satisfaz a equação funcional), mas o enunciado exige que
seja não-constante, então a constante
é descartada. A alternativa de ter valores
variando com
implica uma homomorfismo do grupo
para o grupo multiplicativo
; mas não existe homomorfismo não-trivial desse tipo (argumento simples: se
fosse não-trivial, haveria
com
; então para
teria
, impossível). Portanto não existe função não-constante com valores somente em
que satisfaça a equação. Assim, em geral,
não coincide com
. Um exemplo concreto e simples que mostra que III é falsa é
que satisfaz
, é não-constante e positiva (confirmando I e II), mas não é par, pois
para
.
Portanto a afirmação III é falsa em geral.
Passo 6
Conclusão combinando os passos: II é verdadeira (provada por indução), I é verdadeira (argumento pelo absurdo e divisão por 2), e III é falsa (contraexemplo
e argumento geral). Assim são verdadeiras apenas I e II.
Resposta
a) apenas I e II.