Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-5 x^{2}+4=0
x^{4}-5 x^{2}+4=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Trata-se de um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.
- Queremos encontrar todos os valores de
que tornam a igualdade verdadeira (raízes da equação).
Passo 2
Observação útil (estratégia): os expoentes aparecem apenas como
e
, ou seja, só aparecem potências pares de
. Isso sugere fazer uma substituição que reduza o grau: vamos definir
Explicação da substituição: ao fazer
transformamos qualquer expressão em potências pares de
em polinômio em
. Note que, se estivermos trabalhando nos reais,
será
, mas podemos usar a substituição em geral para achar as raízes (depois voltamos para
).
Passo 3
Aplicando a substituição
na equação original obtemos um polinômio quadrático em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Portanto
Assim as soluções para
são
Passo 4
Voltamos à variável
usando
.
Caso 1:
dá
Explicando como resolver: para
tiramos raiz quadrada dos dois lados, lembrando do sinal
. Assim
Uma alternativa é fatorar
e aplicar a propriedade do produto nulo.
Caso 2:
dá
Resolvendo por raiz quadrada:
Ou, novamente, fatorando
.
Passo 5
Verificação rápida (sanidade): podemos checar que cada uma das quatro soluções substituída em
anula o polinômio porque todas derivam das raízes de
por
. Por exemplo, para
:
. Para
:
. Os negativos funcionam da mesma forma porque aparecem apenas potências pares.