Resolva as seguintes equações no campo dos
x^{4}-5 x^{2}+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{4}-5x^{2}+4=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Trata-se de um polinômio de grau 4 com coeficientes reais.
  • Queremos encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira (raízes da equação).

Passo 2

Observação útil (estratégia): os expoentes aparecem apenas como x^{4} e x^{2}, ou seja, só aparecem potências pares de x. Isso sugere fazer uma substituição que reduza o grau: vamos definir
y = x^{2}.
Explicação da substituição: ao fazer y=x^{2} transformamos qualquer expressão em potências pares de x em polinômio em y. Note que, se estivermos trabalhando nos reais, y será \ge 0, mas podemos usar a substituição em geral para achar as raízes (depois voltamos para x).

Passo 3

Aplicando a substituição y=x^{2} na equação original obtemos um polinômio quadrático em y:
y^{2}-5y+4=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 4 e cuja soma seja -5. Esses números são -1 e -4. Portanto
y^{2}-5y+4=(y-1)(y-4).
Assim as soluções para y são
y=1\quad\text{ou}\quad y=4.

Passo 4

Voltamos à variável x usando y=x^{2}.
Caso 1: y=1
x^{2}=1.
Explicando como resolver: para x^{2}=1 tiramos raiz quadrada dos dois lados, lembrando do sinal \pm. Assim
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1.
Uma alternativa é fatorar x^{2}-1=(x-1)(x+1)=0 e aplicar a propriedade do produto nulo.
Caso 2: y=4
x^{2}=4.
Resolvendo por raiz quadrada:
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Ou, novamente, fatorando x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0.

Passo 5

Verificação rápida (sanidade): podemos checar que cada uma das quatro soluções substituída em x^{4}-5x^{2}+4 anula o polinômio porque todas derivam das raízes de y^{2}-5y+4 por y=x^{2}. Por exemplo, para x=1: 1^{4}-5\cdot1^{2}+4=1-5+4=0. Para x=2: 2^{4}-5\cdot2^{2}+4=16-20+4=0. Os negativos funcionam da mesma forma porque aparecem apenas potências pares.

Resposta

-2,\,-1,\,1,\,2

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