(ITA) Considere a matriz
tal que
, com
. Sabendo-se que
onde
sumk=1^n M^k=M+M^2+cdots+M^n
então o valor de
n é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 .
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 .
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
MinR^2times2 definida por
mij=j-i+1 e pede o inteiro
n tal que
O conteúdo envolve potências de matriz, soma de séries de matrizes e cálculo de determinante.
Passo 2
Vamos escrever
M explicitamente. Para
i,j=1,2 :
Logo,
Passo 3
Note que
M é da forma
M=I+A com
e
A^2=0 . Pelo binômio de Newton, para todo
k>=1 ,
Passo 4
Somando de
k=1 até
n :
Substituindo
I e
A :
Passo 5
Defina
Passo 6
O determinante de
S é
O enunciado impõe
n^2(n+1)=252 .
Passo 7
Procuramos
ninN tal que
n^2(n+1)=252 . Testando as opções:
Só
n=6 satisfaz.
Resposta
c)
6