(ITA) Considere a matriz M=(mi j)2 times 2 tal que mi j=j-i+1, com i, j=1,2. Sabendo-se que
det(sumk=1^n M^k-n(ll 1 & 0 1 & 1 ))=252
onde
sumk=1^n M^k=M+M^2+cdots+M^n
então o valor de n é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8 .

Passo 1

O enunciado dá uma matriz MinR^2times2 definida por mij=j-i+1 e pede o inteiro n tal que
detl(sumk=1^nM^k ;-; n1&01&1r)=252
O conteúdo envolve potências de matriz, soma de séries de matrizes e cálculo de determinante.

Passo 2

Vamos escrever M explicitamente. Para i,j=1,2:
m11=1-1+1=1, m12=2-1+1=2, m21=1-2+1=0, m22=2-2+1=1
Logo,
M=1&20&1

Passo 3

Note que M é da forma M=I+A com
A=0&20&0,
e A^2=0. Pelo binômio de Newton, para todo k>=1,
M^k=(I+A)^k=I + kA

Passo 4

Somando de k=1 até n:
sumk=1^n M^k = sumk=1^n (I + kA) = nI + l(sumk=1^n kr)A = nI + n(n+1)2,A
Substituindo I e A:
sumk=1^n M^k = n1&00&1 + n(n+1)2 0&20&0 = n & n(n+1)0 & n

Passo 5

Defina

Passo 6

O determinante de S é
det(S) = 0cdot0 - l(n(n+1)r)cdot(-n) = n^2,(n+1)
O enunciado impõe n^2(n+1)=252.

Passo 7

Procuramos ninN tal que n^2(n+1)=252. Testando as opções:
4^2cdot5=80, 5^2cdot6=150, 6^2cdot7=252,ldots
n=6 satisfaz.

Resposta

c) 6

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