Seja An=(ai j)n times n uma matriz de ordem n tal que ai j=min i, j para 1 <= i, j <= n, onde min i, j retorna o valor mínimo entre i e j. Calcule det(An).

Passo 1

O enunciado define a matriz An = (aij)ntimes n com
aij = mini,j, 1<= i,j<= n
O objetivo é calcular det(An). Para isso, vamos usar operações elementares de linha que não alteram o determinante e triangularizar a matriz.

Passo 2

Observe que a i-ésima linha de An é
l[min(i,1),min(i,2),dots,min(i,n)r] = [1,2,dots,i-1,i,i,dots,i]
Logo, para i>=2, ao subtrairmos a linha (i-1) da linha i, cada entrada até a coluna i-1 zera e as entradas da coluna i em diante ficam iguais a i-(i-1)=1. Assim,
linhai - linhai-1 = (0,0,dots,0,1,1,dots,1)

Passo 3

Execute, para i=n,n-1,dots,2, a operação de linha
linha i linha i - linha (i-1)
Essas operações preservam det(An). Após aplicá-las em todas as linhas de 2 a n, a matriz resultante é
1 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & 1 & 1 & cdots & 1 0 & 0 & 1 & cdots & 1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 ,
que é triangular superior.

Passo 4

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui cada entrada diagonal é 1, logo
det(An) = 1 cdot 1 cdot dots cdot 1 = 1

Resposta

1

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