(ITA) Um objeto tem função horária
. Determine a aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a função horária do movimento
e pede para determinar a aceleração.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é a posição (deslocamento) em função do tempo . - Os coeficientes estão em unidades do SI (logo
em metros e em segundos). - A pergunta é: qual é a aceleração em função do tempo (ou valor da aceleração)?
Passo 2
O que significa “determinar a aceleração” aqui (passo didático curto e prático):
- A velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; em matemática isso é a derivada de em relação a . Escrevemos
- A aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; logo é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
Essas definições significam que para achar
podemos derivar
duas vezes.
Passo 3
Regra rápida e prática para derivar polinômios (que vamos usar aqui):
- Derivada de uma constante
é : . - Regra do poder (power rule): para
temos . - Se há um fator constante
, .
Exemplos simples aplicáveis:
Passo 4
Vamos calcular a velocidade
derivando termo a termo:
Portanto
Passo 5
Agora derivamos a velocidade para obter a aceleração:
Logo a aceleração é constante:
Passo 6
Interpretação e unidade:
- Como
está no SI (metros) e em segundos, a unidade de aceleração é metros por segundo ao quadrado. Em TeX:
- Como
é constante, isso significa que em qualquer instante a aceleração vale . Por exemplo, em ou s, .