(ITA) Um objeto tem função horária S=2+4 t+3 t^{2}(S I). Determine a aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a função horária do movimento
S(t)=2+4t+3t^{2}\quad(\text{SI})
e pede para determinar a aceleração.
Informações relevantes que temos:
  • S(t) é a posição (deslocamento) em função do tempo t.
  • Os coeficientes estão em unidades do SI (logo S em metros e t em segundos).
  • A pergunta é: qual é a aceleração em função do tempo (ou valor da aceleração)?

Passo 2

O que significa “determinar a aceleração” aqui (passo didático curto e prático):
  • A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo; em matemática isso é a derivada de S(t) em relação a t. Escrevemos
v(t)=\frac{dS}{dt}.
  • A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo; logo é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}S}{dt^{2}}.
Essas definições significam que para achar a(t) podemos derivar S(t) duas vezes.

Passo 3

Regra rápida e prática para derivar polinômios (que vamos usar aqui):
  • Derivada de uma constante c é 0: \dfrac{d}{dt}\text{(c)}=0.
  • Regra do poder (power rule): para t^{n} temos \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n\,t^{n-1}.
  • Se há um fator constante k, \dfrac{d}{dt}(k\cdot f(t))=k\cdot f'(t).
Exemplos simples aplicáveis:
\frac{d}{dt}(4t)=4,\qquad \frac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2\,t^{1}=6t.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dS}{dt} derivando termo a termo:
S(t)=2+4t+3t^{2}
v(t)=\frac{dS}{dt}=\frac{d}{dt}(2)+\frac{d}{dt}(4t)+\frac{d}{dt}(3t^{2})=0+4+6t.
Portanto
v(t)=4+6t.

Passo 5

Agora derivamos a velocidade para obter a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(4+6t)=\frac{d}{dt}(4)+\frac{d}{dt}(6t)=0+6.
Logo a aceleração é constante:
a(t)=6.

Passo 6

Interpretação e unidade:
  • Como S está no SI (metros) e t em segundos, a unidade de aceleração é metros por segundo ao quadrado. Em TeX:
\text{unidade: }\mathrm{m/s^{2}}.
  • Como a(t)=6 é constante, isso significa que em qualquer instante t a aceleração vale 6\\ \mathrm{m/s^{2}}. Por exemplo, em t=0 ou t=10 s, a=6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a(t)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}

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