2)

(PUC-PR) Com o objetivo de melhorar a produtividade das lavouras, um grupo de 600 produtores de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de biotecnologia; 210 em uso correto de produtos para a proteção de plantas e 90 em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos para a proteção de plantas). Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas:
I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.
Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s):
a) I, II e III, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I, II, III e IV.
e) I e III, apenas.

Passo 1

O enunciado dá o total de produtores e quantos investiram em cada opção. Vou listar claramente as informações e o que é pedido (peguei estes números do enunciado):
  • Total de produtores: N=600.
  • Investiram em avanços na área de biotecnologia: |B|=350.
  • Investiram em uso correto de produtos para proteção de plantas: |P|=210.
  • Investiram em ambos: |B\cap P|=90.
O enunciado pede para avaliar quais das afirmativas I, II, III e IV são corretas:
I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, tipo mini-aula): representar os grupos com um diagrama de Venn e usar fórmulas de contagem básicas.
Definição das quantidades e notação:
  • B é o conjunto dos que investiram em biotecnologia; |B| é o número de elementos de B.
  • P é o conjunto dos que investiram em proteção de plantas; |P| é o número de elementos de P.
  • B\cap P é a interseção (quem investiu em ambos); |B\cap P| é o número na interseção.
  • B\setminus P é quem está em B mas não em P (“apenas biotecnologia”).
  • P\setminus B é quem está em P mas não em B (“apenas proteção”).
  • B\cup P é quem investiu em pelo menos um dos dois (união).
Fórmulas que usaremos (explicando o porquê):
  • Para "apenas B" contamos todos em B e subtraímos os que também estão em P: |B\setminus P| = |B| - |B\cap P|.Isso acontece porque os elementos de B se dividem em dois subconjuntos disjuntos: os que também estão em P e os que não estão.
  • Para "apenas P": |P\setminus B| = |P| - |B\cap P|.
  • Para a união usamos o princípio da inclusão-exclusão: somando |B| e |P| contamos duas vezes os que estão em ambos, então subtraímos |B\cap P|: |B\cup P| = |B| + |P| - |B\cap P|.
  • Para quem não fez nenhum dos dois: \text{nenhum} = N - |B\cup P|.
Tudo acima é somente lógica de contagem — nada de mágica, só separar os grupos e evitar dupla contagem.

Passo 3

Calcular quantos investiram apenas em avanços na área de biotecnologia usando a fórmula:
|B\setminus P| = |B| - |B\cap P|.
Substituindo os números dados:
|B\setminus P| = 350 - 90 = 260.
Conclusão: a afirmativa I diz que são 260 produtores — isso confere. Portanto I é verdadeira.

Passo 4

Calcular quantos investiram apenas em uso correto de produtos para proteção de plantas:
|P\setminus B| = |P| - |B\cap P|.
Substituindo:
|P\setminus B| = 210 - 90 = 120.
Conclusão: a afirmativa II diz que são 120 produtores — isso confere. Portanto II é verdadeira.

Passo 5

Calcular quantos investiram em avanços na área de biotecnologia ou em uso correto de produtos para proteção de plantas (união):
|B\cup P| = |B| + |P| - |B\cap P|.
Substituindo:
|B\cup P| = 350 + 210 - 90 = 560 - 90 = 470.
Conclusão: a afirmativa III diz que são 470 produtores — isso confere. Portanto III é verdadeira.

Passo 6

Calcular quantos não fizeram nenhum dos dois investimentos:
\text{nenhum} = N - |B\cup P|.
Substituindo:
\text{nenhum} = 600 - 470 = 130.
Conclusão: a afirmativa IV diz que são 130 produtores — isso confere. Portanto IV é verdadeira.

Passo 7

Resumo e verificação final: todas as quatro afirmações I, II, III e IV são verdadeiras com base nos cálculos feitos. Assim a alternativa correta é a que lista todas as afirmativas.

Resposta

d)

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