2)
(PUC-PR) Com o objetivo de melhorar a produtividade das lavouras, um grupo de 600 produtores de uma determinada região resolveu investir no aumento da produção de alimentos nos próximos anos: 350 deles investiram em avanços na área de biotecnologia; 210 em uso correto de produtos para a proteção de plantas e 90 em ambos (avanços na área de biotecnologia e uso correto de produtos para a proteção de plantas). Com base nas informações acima, considere as seguintes afirmativas:
I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.
Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s):
a) I, II e III, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I, II, III e IV.
e) I e III, apenas.
I. 260 produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. 120 produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. 470 produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. 130 produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.
a) I, II e III, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I, II, III e IV.
e) I e III, apenas.
Passo 1
O enunciado dá o total de produtores e quantos investiram em cada opção. Vou listar claramente as informações e o que é pedido (peguei estes números do enunciado):
- Total de produtores:
. - Investiram em avanços na área de biotecnologia:
. - Investiram em uso correto de produtos para proteção de plantas:
. - Investiram em ambos:
.
O enunciado pede para avaliar quais das afirmativas I, II, III e IV são corretas:
I. produtores investiram apenas em avanços na área de biotecnologia.
II. produtores investiram apenas em uso correto de produtos para a proteção de plantas.
III. produtores investiram em avanços na área de biotecnologia ou uso correto de produtos para a proteção de plantas.
IV. produtores não fizeram nenhum dos dois investimentos.
I.
II.
III.
IV.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, tipo mini-aula): representar os grupos com um diagrama de Venn e usar fórmulas de contagem básicas.
Definição das quantidades e notação:
-
é o conjunto dos que investiram em biotecnologia; é o número de elementos de . -
é o conjunto dos que investiram em proteção de plantas; é o número de elementos de . -
é a interseção (quem investiu em ambos); é o número na interseção. -
é quem está em mas não em (“apenas biotecnologia”). -
é quem está em mas não em (“apenas proteção”). -
é quem investiu em pelo menos um dos dois (união).
Fórmulas que usaremos (explicando o porquê):
- Para "apenas
" contamos todos em e subtraímos os que também estão em : Isso acontece porque os elementos de se dividem em dois subconjuntos disjuntos: os que também estão em e os que não estão. - Para "apenas
": - Para a união usamos o princípio da inclusão-exclusão: somando
e contamos duas vezes os que estão em ambos, então subtraímos : - Para quem não fez nenhum dos dois:
Tudo acima é somente lógica de contagem — nada de mágica, só separar os grupos e evitar dupla contagem.
Passo 3
Calcular quantos investiram apenas em avanços na área de biotecnologia usando a fórmula:
Substituindo os números dados:
Conclusão: a afirmativa I diz que são
produtores — isso confere. Portanto I é verdadeira.
Passo 4
Calcular quantos investiram apenas em uso correto de produtos para proteção de plantas:
Substituindo:
Conclusão: a afirmativa II diz que são
produtores — isso confere. Portanto II é verdadeira.
Passo 5
Calcular quantos investiram em avanços na área de biotecnologia ou em uso correto de produtos para proteção de plantas (união):
Substituindo:
Conclusão: a afirmativa III diz que são
produtores — isso confere. Portanto III é verdadeira.
Passo 6
Calcular quantos não fizeram nenhum dos dois investimentos:
Substituindo:
Conclusão: a afirmativa IV diz que são
produtores — isso confere. Portanto IV é verdadeira.
Passo 7
Resumo e verificação final: todas as quatro afirmações I, II, III e IV são verdadeiras com base nos cálculos feitos. Assim a alternativa correta é a que lista todas as afirmativas.
Resposta
d)