(UECE) Se os dois primeiros termos de uma progressão geométrica são dados por \chi_{1}=p^{2}-q^{2} e x_{2}=(p-q)^{2}, com p>q>0, então a expressão do décimo primeiro termo desta progressão será:
(a) \frac{(p-q)^{9}}{(p+q)^{11}}
(b) \frac{(p-q)^{11}}{(p+q)^{9}}
(c) \frac{(p+q)^{9}}{(p-q)^{11}}
(d) \frac{(p-q)^{9}}{(p-q)^{11}}

Passo 1

O enunciado dá as duas primeiras parcelas de uma progressão geométrica e pede a expressão da décima primeira parcela. As informações fornecidas são:
  • \chi_{1}=p^{2}-q^{2}.
  • \chi_{2}=(p-q)^{2}.
  • p>q>0.
    O que se pede: determinar a expressão de \chi_{11}.

Passo 2

Lembrete sobre progressão geométrica (PG). Numa PG:
  • A razão comum é a razão entre termos consecutivos: \;r=\dfrac{\chi_{n+1}}{\chi_{n}}\;.
  • A fórmula do n-ésimo termo em função do primeiro termo e da razão é
\chi_{n}=\chi_{1}\,r^{\,n-1},
onde \chi_{n} é o n-ésimo termo, \chi_{1} é o primeiro termo e r é a razão. Vou usar essa fórmula com n=11, então preciso de \chi_{1} (já dado) e de r.

Passo 3

Calcular a razão r usando \;r=\dfrac{\chi_{2}}{\chi_{1}}\;. Substituindo os dados:
r=\dfrac{(p-q)^{2}}{p^{2}-q^{2}}.
Agora usar a fatoração da diferença de quadrados: \;p^{2}-q^{2}=(p-q)(p+q)\;. Assim
r=\dfrac{(p-q)^{2}}{(p-q)(p+q)}.
Como p>q temos p-q\neq 0, então podemos simplificar (p-q):
r=\dfrac{p-q}{p+q}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do n-ésimo termo com n=11:
\chi_{11}=\chi_{1}\,r^{10}.
Substituindo \chi_{1}=p^{2}-q^{2} e r=\dfrac{p-q}{p+q}:
\chi_{11}=(p^{2}-q^{2})\left(\dfrac{p-q}{p+q}\right)^{10}.
Lembrete de regra de potências usada aqui: \left(\dfrac{a}{b}\right)^{10}=\dfrac{a^{10}}{b^{10}}.

Passo 5

Continuar a simplificação. Substituir novamente p^{2}-q^{2}=(p-q)(p+q) na expressão:
\chi_{11}=(p-q)(p+q)\cdot\dfrac{(p-q)^{10}}{(p+q)^{10}}.
Agrupando potências com a mesma base:
\chi_{11}=\dfrac{(p-q)^{1+10}\,(p+q)^{1}}{(p+q)^{10}}=\dfrac{(p-q)^{11}}{(p+q)^{9}}.
Portanto a expressão final da décima primeira parcela é \dfrac{(p-q)^{11}}{(p+q)^{9}}.

Resposta

(b) \dfrac{(p-q)^{11}}{(p+q)^{9}}

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