Ítem 1: Para os movimentos bidimensionais no plano ( underline{\mathrm{x}, \mathrm{y}} ), descritos por:
b) u=x /(1+t) \quad e \quad v=2 y /(2+t);
Calcule o divergente e o rotacional do vetor velocidade

Passo 1

O enunciado fornece um campo de velocidade bidimensional \mathbf{v}(x,y,t) = \bigl(u(x,y,t),\,v(x,y,t)\bigr)
com
u = \frac{x}{1+t}, \quad v = \frac{2\,y}{2+t}.
Pede-se o divergente \nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}
e o rotacional (componente z em 2D) \nabla\times\mathbf{v} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Calcular o divergente pedindo as derivadas parciais de u em relação a x e de v em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x}{1+t}\Bigr) = \frac{1}{1+t}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\frac{2\,y}{2+t}\Bigr) = \frac{2}{2+t}.
Logo,
\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{1+t} \;+\; \frac{2}{2+t}.

Passo 3

Calcular o rotacional (componente z) usando \tfrac{\partial v}{\partial x} e \tfrac{\partial u}{\partial y}. Como u não depende de y e v não depende de x, temos
\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = 0,
portanto
\nabla\times\mathbf{v} = 0 - 0 = 0.

Resposta

Divergente:
\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{1+t} + \frac{2}{2+t}.
Rotacional (componente z):
\nabla\times\mathbf{v} = 0.

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