Ítem 1: Para os movimentos bidimensionais no plano ( underline{\mathrm{x}, \mathrm{y}} ), descritos por:
c) \mathrm{u}=\mathrm{u}_{0}\left[1-\left(\mathrm{y}^{2} / \mathrm{l}^{2}\right)\right] \mathrm{e} \mathrm{v}=0, onde \mathrm{u}_{0} \mathrm{e} 1 são constantes
Calcule o divergente e o rotacional do vetor velocidade

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional \mathbf{v}(x,y) = (u,v) com
u = u_{0}\Bigl[1 - \frac{y^{2}}{l^{2}}\Bigr], \quad v = 0,
sendo u_{0} e l constantes. Pede-se o divergente e o rotacional desse campo. Para isso, vamos usar as definições clássicas em coordenadas cartesianas no plano:
– divergente \nabla\cdot\mathbf{v} = \partial u/\partial x + \partial v/\partial y
– rotacional (componente z) (\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{k} = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y.

Passo 2

Calcular o divergente usando
\nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui u só depende de y, logo
\frac{\partial u}{\partial x} = 0,
e como v=0
\frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{v} = 0 + 0 = 0.

Passo 3

Calcular o rotacional (componente z) via
(\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{k} = \frac{\partial v}{\partial x} \;-\; \frac{\partial u}{\partial y}.
Como v=0, temos \partial v/\partial x=0. Para \partial u/\partial y, derivamos
u = u_{0}\Bigl[1 - \frac{y^{2}}{l^{2}}\Bigr] \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial y} = u_{0}\,\bigl(0 - 2\,\frac{y}{l^{2}}\bigr) = -\,\frac{2\,u_{0}\,y}{l^{2}}.
Logo
(\nabla\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{k} = 0 - \Bigl(-\frac{2\,u_{0}\,y}{l^{2}}\Bigr) = \frac{2\,u_{0}\,y}{l^{2}}.
Em forma vetorial,
\nabla\times\mathbf{v} = \bigl(0,\,0,\,\tfrac{2\,u_{0}\,y}{l^{2}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{v} = 0, \displaystyle \nabla\times\mathbf{v} = \bigl(0,0,\tfrac{2\,u_{0}\,y}{l^{2}}\bigr).

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