Mostre que o escoamento uniforme F(z)=U_{\infty} e^{-i \alpha} z é:
(a) incompressível em todo o plano z;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o escoamento uniforme dado pelo potencial complexo
F(z)=U_{\infty}e^{-i\alpha}z
é incompressível em todo o plano z. Em mecânica dos fluidos, “incompressível” significa que o campo de velocidade \vec v=(u,v) satisfaz
\nabla\!\cdot\!\vec v=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Para verificar isso, vamos extrair o potencial escalar \varphi(x,y)=\Re[F(z)], calcular
u=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\quad v=\frac{\partial\varphi}{\partial y}
e então conferir que \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0.

Passo 2

Expandimos F(z) escrevendo z=x+iy:
F(z)=U_{\infty}e^{-i\alpha}(x+iy) =U_{\infty}\bigl[(x\cos\alpha+y\sin\alpha)+i\,(y\cos\alpha -x\sin\alpha)\bigr].
Dessa forma o potencial escalar é
\varphi(x,y)=\Re[F(z)] =U_{\infty}\bigl(x\cos\alpha + y\sin\alpha\bigr).
Logo as componentes da velocidade são
u=\frac{\partial\varphi}{\partial x} =U_{\infty}\cos\alpha, \quad v=\frac{\partial\varphi}{\partial y} =U_{\infty}\sin\alpha.

Passo 3

Calculamos a divergência do campo \vec v:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =\frac{\partial (U_{\infty}\cos\alpha)}{\partial x} +\frac{\partial (U_{\infty}\sin\alpha)}{\partial y} =0+0 =0.
Isso mostra que o fluxo não se “expande” nem “contrai” no plano, caracterizando incompressibilidade.

Resposta

O escoamento uniforme F(z)=U_{\infty}e^{-i\alpha}z é incompressível em todo o plano z pois \nabla\cdot\vec v=0.

Exercícios relacionados