Mostre que o escoamento uniforme F(z)=U_{\infty} e^{-i \alpha} z é:
(b) irrotacional em todo o plano z.

Passo 1

O enunciado dá o potencial complexo
F(z)=U_{\infty}e^{-i\alpha}z
para um escoamento uniforme de módulo U_{\infty} e direção \alpha.
O objetivo é mostrar que esse escoamento é irrotacional em todo o plano z.
Para isso vamos (1) escrever F(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y), (2) extrair as componentes u,v da velocidade potencial \Phi e (3) verificar que a vorticidade \omega=\partial v/\partial x-\partial u/\partial y é zero.

Passo 2

Expressamos z=x+iy e multiplicamos:
F(z) =U_{\infty}e^{-i\alpha}(x+iy) =U_{\infty}\bigl[(x\cos\alpha+y\sin\alpha) +i\,(y\cos\alpha - x\sin\alpha)\bigr].
Logo o potencial de velocidade e a função de corrente são
\Phi(x,y)=U_{\infty}(x\cos\alpha+y\sin\alpha), \qquad \Psi(x,y)=U_{\infty}(y\cos\alpha - x\sin\alpha).

Passo 3

As componentes da velocidade são
u=\frac{\partial\Phi}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[U_{\infty}(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\bigr] =U_{\infty}\cos\alpha,
v=\frac{\partial\Phi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[U_{\infty}(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\bigr] =U_{\infty}\sin\alpha.
Note que u e v são constantes em todo o plano.

Passo 4

Calculamos a vorticidade
\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(U_{\infty}\sin\alpha) -\frac{\partial}{\partial y}(U_{\infty}\cos\alpha) =0-0=0.
Como \omega=0 em todo ponto, o escoamento é irrotacional.

Resposta

O escoamento uniforme F(z)=U_{\infty}e^{-i\alpha}z é irrotacional em todo o plano z.

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