Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=x+2 y d yd t=4 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo a coeficientes constantes
d xd t=x+2y, d yd t=4x+3y
O método que vamos usar é o de valores e vetores próprios: escrevemos o sistema na forma matricial X'=AX, calculamos o polinômio característico de A, obtemos os autovalores lambda e os autovetores correspondentes, e por fim montamos a solução geral como combinação linear de e^lambda t vezes cada autovetor.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, temos
O polinômio característico de é

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
lambda^2-4lambda-5=0
usamos a fórmula de Bhaskara e achamos
lambda=4pmraiz16+202 =4pm62,
logo os autovalores são
lambda1=5, lambda2=-1

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Da primeira linha segue . Podemos escolher o autovetor

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Da primeira linha vem . Tomamos então

Passo 6

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais e^lambda1 tv^(1) e e^lambda2 tv^(2). Assim
X(t) =C1,e^5t12 + C2,e^-t1-1
Separando componentes,
x(t)=C1,e^5t+C2,e^-t, y(t)=2C1,e^5t-C2,e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso houvesse.

Resposta

x(t)=C1,e^5t+C2,e^-t, y(t)=2C1,e^5t-C2,e^-t,
com C1,C2inR.

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