Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=-4 x+2 y d yd t=-52 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes
dxdt = -4x + 2y, dydt = -tfrac52 x + 2y
O conteúdo aqui é sistemas lineares, e vamos usar o método de autovalores e autovetores: escrevemos o sistema na forma x' = Ax, encontramos os valores próprios de A resolvendo det(A-lambda I)=0 e depois achamos os vetores próprios para montar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos x=(x,y)^T e
A = -4 & 2 -tfrac52 & 2,
de modo que x' = Ax. O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det!-4-lambda & 2 -tfrac52 & 2-lambda = (-4-lambda)(2-lambda) - 2l(-tfrac52r)
Fazendo as contas:
(-4-lambda)(2-lambda) +5 = lambda^2 +2lambda -3,
logo resolvemos lambda^2 +2lambda -3=0.

Passo 3

As raízes da equação são
Agora achamos os autovetores.
Para , resolvemos
da primeira linha vem , isto é . Podemos escolher e obter o vetor próprio
Para , resolvemos
da primeira linha vem , isto é . Tomando , temos

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais v^(1)e^lambda1 t e v^(2)e^lambda2 t. Assim,
x(t) = C1,v^(1)e^1cdot t + C2,v^(2)e^-3cdot t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Escrevendo em coordenadas, a solução geral fica
x(t) = 2C1,e^t + 2C2,e^-3t, y(t) = 5C1,e^t + 1! cdot C2,e^-3t

Resposta

x(t) = 2C1,e^t + 2C2,e^-3t, y(t) = 5C1,e^t + C2,e^-3t,
com C1,C2inR constantes arbitrárias.

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