Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
X^prime=(cc10 & -5 8 & -12) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDOs lineares homogêneo
X' = A,X, A = 10 & -5 8 & -12
O que vamos usar é o método de autovalores e autovetores para sistemas com coeficientes constantes.

Passo 2

Para achar os autovalores lambda, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det!10-lambda & -5 8 & -12-lambda = (10-lambda)(-12-lambda) - (-5)cdot 8 = lambda^2 + 2lambda -80
Resolvendo lambda^2 +2lambda-80=0 obtemos
lambda = -2pmraiz4+3202 = -2pm182 ;Longrightarrow; lambda1 = 8,;lambda2 = -10

Passo 3

Agora encontramos um autovetor para cada lambda:
Para lambda1 = 8,
(A - 8I)v = 0 ;Longrightarrow; 2 & -5 8 & -20 v1 v2 = 0 ;Longrightarrow; 2v1 -5v2=0 ;Longrightarrow; v^(1) = 5 2
Para lambda2 = -10,
(A + 10I)w = 0 ;Longrightarrow; 20 & -5 8 & -2 w1 w2 = 0 ;Longrightarrow; 20w1 -5w2=0 ;Longrightarrow; w^(2) = 1 4

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções exp (lambda t) vezes os autovetores, ou seja
X(t) = c1,5 2 e^8t + c2,1 4 e^-10t,
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias definidas pelas condições iniciais (se houver).

Resposta

X(t) = c15 2e^8t + c21 4e^-10t

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