Nos itens abaixo, verifique que o vetor X é uma solução do sistema dado.
ld xd t=3 x-4 y d yd t=4 x-7 y ; X=binom12 e^-5 t

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
dxdt=3x-4y, dydt=4x-7y,
e propõe o vetor solução
X(t)=binom12e^-5t
Vamos verificar que tfracdXdt=AX, onde
A=3 & -4 4 & -7

Passo 2

Escrevendo X(t) em componentes, temos
X(t)=x(t)[4pt]y(t) =1cdot e^-5t[4pt]2cdot e^-5t
Aplicando a regra da cadeia, a derivada é
dXdt =ddt(e^-5t)[4pt]ddt(2e^-5t) =-5e^-5t[4pt]-10e^-5t =-5binom12e^-5t ]

Passo 3

Agora calculamos AX(t):
A,X(t) =3 & -4 [3pt]4 & -7 binom12e^-5t =binom3cdot1-4cdot24cdot1-7cdot2,e^-5t =binom-5-10e^-5t =-5binom12e^-5t ]

Passo 4

Comparando os dois resultados, vemos que
dXdt=-5binom12e^-5t e AX(t)=-5binom12e^-5t,
ou seja, tfracdXdt=AX(t). Portanto, X(t) satisfaz o sistema.

Resposta

O vetor X(t)=binom12e^-5t é de fato solução do sistema dado.

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