Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=12 x+9 y d yd t=-12 x+2 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
dxdt=12,x+9,y, dydt=-12,x+2,y
O conteúdo é solução de sistema X' = A,X por autovalores e autovetores. Vamos reescrever em forma matricial e achar o polinômio característico de A.

Passo 2

Definimos
de modo que . O polinômio característico vem de
]

Passo 3

Expandindo
(tfrac12-lambda)(2-lambda) =1-tfrac52lambda+lambda^2,
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det(A-lambda I)=lambda^2-tfrac52lambda+1+tfrac92 =lambda^2-tfrac52lambda+tfrac112=0
Multiplicando por 2
2lambda^2-5lambda+11=0,
cuja discriminante é De<a=25-4cdot2cdot11=25-88=-63. Assim os autovalores são complexos conjugados
lambda=5pm iraiz634 =54pm i,3raiz74
Denotamos
alpha=54, beta=3raiz74

Passo 4

Para obter a solução real, escolhemos o autovalor lambda=alpha+ibeta e achamos um autovetor complexo v tal que (A-lambda I)v=0. Uma escolha conveniente é
v=tfrac32-i,tfrac3raiz72[4pt]1
Separamos em parte real e imaginária:
u=Re v=tfrac321, w=Im v=-tfrac3raiz720 ]

Passo 5

A forma geral da solução real é
X(t)=e^alpha t[ C1(ucos(beta t)-wsin(beta t)) + C2(usin(beta t)+wcos(beta t)) ],
com C1,C2 constantes arbitrárias. Escrevendo as componentes, temos
y(t) =e^tfrac54tl[C1cos(tfrac3raiz74t)+C2sin(tfrac3raiz74t)r],
x(t) =e^tfrac54tl[ C1l(tfrac32cos(tfrac3raiz74t)+tfrac3raiz72sin(tfrac3raiz74t)r) + C2l(tfrac32sin(tfrac3raiz74t)-tfrac3raiz72cos(tfrac3raiz74t)r) r]

Resposta

boxed x(t)&=e^tfrac54tl[ C1l(tfrac32cos(tfrac3raiz74t)+tfrac3raiz72sin(tfrac3raiz74t)r) + C2l(tfrac32sin(tfrac3raiz74t)-tfrac3raiz72cos(tfrac3raiz74t)r) r],[6pt] y(t)&=e^tfrac54tl[C1cos(tfrac3raiz74t)+C2sin(tfrac3raiz74t)r],
once C1,C2 são constantes arbitrárias.]

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