Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=6 x-y d yd t=5 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
dxdt = 6x - y, dydt = 5x + 2y
O conteúdo aqui é sistemas lineares de equações diferenciais, que resolvemos encontrando os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial , em que
Procuramos as soluções do polinômio característico
]

Passo 3

Calculamos
det!6-lambda & -1 [3pt] 5 & 2-lambda = (6-lambda)(2-lambda) - (-1)cdot5 = lambda^2 - 8lambda + 17
As raízes são
lambda = 8 pm raiz64 - 682 = 4 pm i ]

Passo 4

Tomamos e achamos um autovetor resolvendo .
Da primeira linha vem , logo podemos escolher e . Então
com
]

Passo 5

As soluções reais fundamentais são dadas por
Rel(e^(4+i)tvr) = e^4tl(pcos t - qsin tr), Iml(e^(4+i)tvr) = e^4tl(psin t + qcos tr)
Isto é,
x1(t) &= e^4t cos t[3pt] 2cos t + sin t , [6pt] x2(t) &= e^4t sin t[3pt] 2sin t - cos t ]

Passo 6

A combinação linear dessas soluções gera a solução geral:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

x(t) = e^4tl(C1cos t + C2sin tr), y(t) = e^4tl(C1(2cos t + sin t) + C2(2sin t - cos t)r)

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