Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=x+y d yd t=-2 x-y

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral do sistema linear homogêneo de EDOs de coeficientes constantes
dxdt=x+y, dydt=-2x-y
O conteúdo usado será redução a uma equação de segunda ordem e relacionar x e y via dxdt=x+y.

Passo 2

Derivamos a primeira equação para obter uma equação em x só. Como
dxdt=x+y, temos
d^2xdt^2=ddt(x+y)=dxdt+dydt
Substituindo dxdt=x+y e dydt=-2x-y vem
d^2xdt^2=(x+y)+(-2x-y)=-x,
ou seja
d^2xdt^2+x=0

Passo 3

A equação
d^2xdt^2+x=0
é a clássica do oscilador harmônico e sua solução geral é
x(t)=Acos t + Bsin t,
onde A e B são constantes de integração.

Passo 4

Para achar y(t), usamos dxdt=x+y. Calculando
dxdt=-Asin t + Bcos t
e invertendo para y:
y=dxdt-x =(-Asin t + Bcos t)-(Acos t + Bsin t) =(B - A)cos t;-;(A + B)sin t

Resposta

x(t)=Acos t + Bsin t, y(t)=(B - A)cos t - (A + B)sin t,
com A,BinR constantes arbitrárias.

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