Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=5 x+y d yd t=-2 x+3 y

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com coeficientes constantes
d xd t=5x+y, d yd t=-2x+3y
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares pelo método de autovalores e autovetores da matriz
A=5 & 1-2 & 3

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det5-lambda & 1-2 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)+2 =lambda^2-8lambda+17

Passo 3

Resolvendo
lambda^2-8lambda+17=0
vem
lambda=8pmraiz64-682 =4pm i

Passo 4

Para lambda1=4+i, resolvemos (A-lambda1I)v=0:
l(5-(4+i)r)x+y=(1-i)x+y=0 Longrightarrow y=-(1-i)x
Um autovetor é v=(1,,-(1-i))^T. A solução complexa fundamenta as partes real e imaginária.

Passo 5

Escrevendo a solução geral real a partir de e^(4+i)tv, obtemos
x(t)=e^4tl(C1cos t+C2sin tr),
y(t)=e^4tl(-C1(cos t+sin t)+C2(cos t-sin t)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

x(t)=e^4tl(C1cos t+C2sin tr),
y(t)=e^4tl(-C1(cos t+sin t)+C2(cos t-sin t)r)

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