Nos itens abaixo, ache a solução do sistema dado. Nos casos de PVI, resolva o sistema sujeito às condições iniciais indicadas.
ld xd t=3 x-y d yd t=9 x-3 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo
que podemos escrever em forma matricial como
O método para resolver é achar os autovalores e autovetores de , e no caso de multiplicidade algébrica maior que a geométrica, usar vetores generalizados.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det3-lambda & -1[3pt]9 & -3-lambda =(3-lambda)(-3-lambda)-(-1)cdot9 =lambda^2
Logo o único autovalor é lambda=0, com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos um autovetor não-nulo
o que dá (apenas um autovetor independente), então precisamos de um vetor generalizado.]

Passo 4

Procuramos
que são a mesma equação obtemos , ou seja
]

Passo 5

Como lambda=0 é duplo e temos só um autovetor, a solução geral do sistema é
X(t) = C1,e^0tv1 ;+; C2l(e^0t(t,v1) + e^0tv2r) = C1,v1 + C2l(t,v1 + v2r)
Em componentes, X(t)=(x(t),y(t))^T, então
x(t) = C1cdot1 + C2l(tcdot1 + 0r) = C1 + C2,t,
y(t) = C1cdot3 + C2l(tcdot3 + (-1)r) = 3C1 + 3C2,t - C2

Resposta

boxed x(t) = C1 + C2,t, y(t) = 3C1 + 3C2,t - C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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