Nos itens abaixo calcule a circulação de duas maneiras, primeiro calcule diretamente e depois use o teorema de Stokes.
(a) F=(x+z) i+x j+y k e C é o semicírculo superior de x^2+y^2=9 no plano y=0 junto com o segmento de reta de (3,0,0) a (-3,0,0) com orientação no sentido anti-horário quando visto do eixo y positivo.
(b) F=x y i+y z j+x z k e C é a fronteira da superfície S dada por x=1-x^2, 0 <= x <= 1 e-2 <= y <= 2 com orientação para cima. Faça um esboço de S e C.
Passo 1
O exercício pede a circulação integralC vec Fcdot dvec r de duas campos vetoriais diferentes, cada uma calculada primeiro diretamente (parametrizando C) e depois por meio do Teorema de Stokes (transformando a integral de linha em integral de superfície de nablatimesvec F). Vamos precisar de parametrizações de C, de cálculo de produto escalar vec Fcdot dvec r, de cálculo de nablatimesvec F e de integração dupla sobre a superfície escolhida.
Passo 2
Parte (a), método direto: corrigindo o enunciado, assumimos que C é o semicírculo superior de x^2+y^2=9 no plano z=0 de (3,0,0) a (-3,0,0) e o segmento de reta de volta. Para o semicírculo parametrizamos r1(theta)=(3costheta,,3sintheta,,0), 0<=theta<=pi. Calculamos dvec r1, substituímos em vec F=(x+z,i!+)x, j+y, k=(x, x, y) com z=0, fazemos vec Fcdot dvec r1 e integramos 0 a pi, obtendo 9pi/2. O segmento de reta de (-3,0,0) a (3,0,0) dá integral zero. Soma: 9pi/2.
Passo 3
Parte (a), Teorema de Stokes: escolhemos como superfície S o semidisco x^2+y^2<=9,,z=0 com normal unitário para cima n= k. Calculamos nablatimesvec F=(1,1,1). Então integral duplaS(nablatimesvec F)cdot n,dS=integral duplaS1,dS=área do semidisco=12picdot3^2=9pi2á Isso coincide com o método direto.
Passo 4
Parte (b), esboço de S e C: a superfície S é o gráfico de z=1-x^2 para 0<= x<=1,,-2<= y<=2. No espaço, S é uma “tampa” parabólica estendida na direção y. A fronteira C=partial S é o caminho fechado que percorre, em ordem, as curvas em y=-2, x=1, y=2 e x=0 de acordo com orientação positiva (vista de cima anticlockwise no plano xy).
Passo 5
Parte (b), método direto: dividimos C em 4 trechos e parametrizamos cada um: (i) de (0,-2,1) a (1,-2,0), (ii) de (1,-2,0) a (1,2,0), (iii) de (1,2,0) a (0,2,1) e (iv) de (0,2,1) a (0,-2,1). Em cada trecho calculamos dvec r, avaliam vec F=(xy, yz, xz), fazem vec Fcdot dvec r e integram. Os trechos (ii) e (iv) dão zero e (i)+(iii) somam -2.
Passo 6
Parte (b), Teorema de Stokes: calculamos nablatimesvec F=(-y,-z,-x). Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,1-x^2), (x,y)in[0,1]times[-2,2]. O vetor normal orientado para cima é rxtimes ry=(2x,0,1). Fazemos (nablatimesvec F)cdot(rxtimes ry)=-2xy - x, integramos x de 0 a 1 e y de -2 a 2, obtendo -2). Dessa forma confirmamos o resultado direto.