Nos itens abaixo calcule a integral integralC F cdot d r do jeito que achar mais simples, diretamente ou pelo teorema de Stokes.
F=x^2 i+y^2 j+z^2 k e C é o círculo unitário no plano x z com centro na origem e orientação anti-horária quando visto do eixo y positivo.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r onde vec F=(x^2,y^2,z^2) e C é o círculo unitário no plano xz orientado anti-horário visto do eixo +y. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha à integral de superfície do rotacional de vec F.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o rotacional de vec F. Por definição,
nablatimesvec F=(partialpartial y(z^2)-partialpartial z(y^2),,partialpartial z(x^2)-partialpartial x(z^2),,partialpartial x(y^2)-partialpartial y(x^2))
Fazendo as derivadas parciais, todas as componentes são zero, então
nablatimesvec F=(0,0,0)

Passo 3

Agora escolhemos a superfície S como o disco unitário no plano xz ( y=0). A orientação de C vista de +y anti-horária corresponde ao vetor normal vec n=+vec j. Aplicando o Teorema de Stokes:
integralCvec Fcdot dvec r=integral duplaS(nablatimesvec F)cdotvec n,dS

Passo 4

Como nablatimesvec F=vec0, o integrando é zero em toda a superfície. Logo a integral de superfície e, portanto, a integral de linha valem zero.

Resposta

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