Seja a superficie parametrizada por com e . Dar a equação do plano tangente a no ponto .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: a superfície é dada pela parametrização com , , e queremos o plano tangente em . Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter vetores tangentes, calcular o normal via produto vetorial e depois escrever a equação do plano.
Passo 2
Calculamos o ponto de interesse substituindo e :
Passo 3
Encontramos as derivadas parciais de :
Em isso fica:
Passo 4
O vetor normal é dado pelo produto vetorial . Calculando o determinante:
Passo 5
Escrevemos então a equação do plano tangente usando ncdot((x,y,z)-P)=0:
(-2,,-2,,1)cdot(x-1,,y-0,,z-1)=0
Expandindo e simplificando, obtemos
Passo 6
Após expandir:
-2(x-1)-2y+1(z-1)=0
-2x+2-2y+z-1=0
-2x-2y+z+1=0
Resposta
A equação do plano tangente é -2x - 2y + z + 1 = 0, que também pode ser escrita como z = 2x + 2y - 1.