Seja S a superficie parametrizada por u >= 0 com v >= 0 e S. Dar a equação do plano tangente a psi(1,0) no ponto .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: a superfície é dada pela parametrização psi(u,v)=(u-v,,uv,,u^2+v^2) com u>=0, v>=0, e queremos o plano tangente em psi(1,0). Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter vetores tangentes, calcular o normal via produto vetorial e depois escrever a equação do plano.

Passo 2

Calculamos o ponto de interesse substituindo u=1 e v=0:
P=psi(1,0)=(1-0,,1cdot0,,1^2+0^2)=(1,0,1)

Passo 3

Encontramos as derivadas parciais de psi:
psiu(u,v)=(1,,v,,2u), psiv(u,v)=(-1,,u,,2v)
Em (1,0) isso fica:
psiu(1,0)=(1,0,2), psiv(1,0)=(-1,1,0)

Passo 4

O vetor normal n é dado pelo produto vetorial psiu(1,0)timespsiv(1,0). Calculando o determinante:
psiu(1,0)timespsiv(1,0)= i & j & k 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 =(-2,,-2,,1)

Passo 5

Escrevemos então a equação do plano tangente usando ncdot((x,y,z)-P)=0:
(-2,,-2,,1)cdot(x-1,,y-0,,z-1)=0
Expandindo e simplificando, obtemos

Passo 6

Após expandir:
-2(x-1)-2y+1(z-1)=0
-2x+2-2y+z-1=0
-2x-2y+z+1=0

Resposta

A equação do plano tangente é -2x - 2y + z + 1 = 0, que também pode ser escrita como z = 2x + 2y - 1.

Exercícios relacionados