Nos itens abaixo, defina a transformação linear por e determine o núcleo e a imagem de , bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2toR^2 por
T(v)=A,v,
onde
A=1 & 2 -3 & -6
Queremos encontrar o núcleo ker(T), a imagem Im(T) e as dimensões de ambos. Usaremos o fato de que a imagem é gerada pelas colunas de A e o núcleo é o espaço solução de A,v=0, além do teorema da dimensionalidade (posto–nuloidade).
Passo 2
Analisando as colunas de A, temos
col1=1-3, col2=2-6=21-3
Logo as colunas são linearmente dependentes e o posto de A é 1. Portanto
Im(T)=spanl,(1,-3)^Tr
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Isso gera a equação (a segunda é redundante). Daí , então
Passo 4
Pelo que vimos,
diml(Im(T)r)=1, diml(ker(T)r)=1,
e de fato 1+1=2=dim(R^2), conforme o teorema do posto–nuloidade.