Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[ccc1 & -1 & 2 0 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^3toR^2 por
T(v)=A,v, A=1 & -1 & 2[6pt]0 & 1 & 2
O que precisamos encontrar é o núcleo de T (solução de A,v=0), a imagem de T (coluna-espaço de A) e as dimensões de cada um.]

Passo 2

Para achar
onde . Substituindo na primeira:
Logo todo vetor pode ser escrito como

Passo 3

Isso mostra que
ker(T) = span(-4,-2,1),
ou seja, um subespaço unidimensional. Portanto
diml(ker(T)r) = 1

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, que são
c1=(1,0), c2=(-1,1), c3=(2,2)
Note que c1 e c2 já são linearmente independentes em R^2, de modo que
Im(T)=span(1,0),,(-1,1)=R^2
Logo
diml(Im(T)r)=2

Resposta

ker(T)=span(-4,-2,1),;dim(ker(T))=1 Im(T)=R^2,;dim(Im(T))=2

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