Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[ll9 / 10 & 3 / 10 3 / 10 & 1 / 10]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2toR^2 por T(v)=A,v, onde
A = 910 & 310[6pt] 310 & 110
Precisamos determinar o núcleo ker(T), a imagem Im(T) e suas dimensões.]

Passo 2

Lembrando as definições:
– O núcleo é
ker(T) = vinR^2 mid A,v = 0
– A imagem é o subespaço gerado pelas colunas de A:
Im(T) = spancol1(A),,col2(A)
Suas dimensões são chamadas de nulidade e posto, respectivamente.

Passo 3

Para achar resolvemos
ou seja
Multiplicando qualquer equação por
Logo
e sua dimensão é .

Passo 4

As colunas de A são
col1(A) = 910[3pt]310, col2(A) = 310[3pt]110
Note que
col2(A) = tfrac13,col1(A)
Então as colunas são linearmente dependentes e
Im(T) = spancol1(A) = spanll(tfrac910,tfrac310r)r = span(3,1)
A dimensão da imagem (posto) é 1.]

Resposta

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