Nos itens abaixo, defina a transformação linear por e determine o núcleo e a imagem de , bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T:R^2toR^3 por
T(v)=Acdot v,
onde
A = 5 & -3 1 & 1 1 & -1
Precisamos encontrar o núcleo ker(T) e a imagem Im(T), bem como suas dimensões. Para isso usaremos (1) a resolução do sistema homogêneo A,v=0 para ker(T) e (2) a descrição da coluna de A como geradores de Im(T) e o teorema do posto.
Passo 2
Para achar
Isto dá o sistema
Da terceira equação vem , logo . A primeira é satisfeita por .
Passo 3
Concluímos que a única solução é x=y=0, ou seja,
ker(T)=(0,0),
e portanto
diml(ker(T)r)=0
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A:
Im(T)=spanl 511, -31-1 r
Para ver a dimensão, verificamos se essas duas colunas são linearmente independentes. Não há escalar lambda tal que lambda,(5,1,1) = (-3,1,-1),
logo são independentes.