Nos itens abaixo, defina a transformação linear
por
e determine o núcleo e a imagem de
, bem como suas respectivas dimensões.
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
T:R^3toR^3 definida por
onde
Queremos achar
ker T ,
ImT e suas dimensões. Vamos usar que
ker T=v:Av=0 ,
ImT= span das colunas de
A , e o Teorema do Núcleo e Imagem (nullity–rank).
Passo 2
Note que, tirando o fator
1/9 , as linhas (e também as colunas) do núcleo matricial
são todas múltiplos do vetor
(2,-2,1) . Logo
rank(M)=1 e, por isso,
rank(A)=1 . Assim
diml(ImTr)=1 e
diml(ker Tr)=3-1=2 .
Passo 3
Para a imagem, basta notar que todas as colunas de
A são múltiplos de
19(4,-4,2)^T
Portanto
Portanto
Passo 4
Para o núcleo, resolvemos
Av=0 . Equivalente a
isto é,
Podemos escolher
y e
z livres. Por exemplo, tomando
(y,z)=(1,0) e
(y,z)=(0,2) , obtemos dois vetores independentes no núcleo:
Logo
Passo 5
Confirmando as dimensões pelo Teorema do Núcleo e Imagem:
e de fato
2+1=3 .