Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[ccc4 / 9 & -4 / 9 & 2 / 9 -4 / 9 & 4 / 9 & -2 / 9 2 / 9 & -2 / 9 & 1 / 9]

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear T:R^3toR^3 definida por
T(v)=A,v,
onde
A = 19 4 & -4 & 2 -4 & 4 & -2 2 & -2 & 1
Queremos achar ker T, ImT e suas dimensões. Vamos usar que ker T=v:Av=0, ImT=span das colunas de A, e o Teorema do Núcleo e Imagem (nullity–rank).

Passo 2

Note que, tirando o fator 1/9, as linhas (e também as colunas) do núcleo matricial
M= 4 & -4 & 2 -4 & 4 & -2 2 & -2 & 1
são todas múltiplos do vetor (2,-2,1). Logo rank(M)=1 e, por isso, rank(A)=1. Assim diml(ImTr)=1 e diml(ker Tr)=3-1=2.

Passo 3

Para a imagem, basta notar que todas as colunas de A são múltiplos de
19(4,-4,2)^T
Portanto
ImT =spanl(4,-4,2)^Tr

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos Av=0. Equivalente a
M,v=0 Longrightarrow 4x-4y+2z=0,
isto é,
2x-2y+z=0
Podemos escolher y e z livres. Por exemplo, tomando (y,z)=(1,0) e (y,z)=(0,2), obtemos dois vetores independentes no núcleo:
v1=(1,1,0), v2=(0,1,2)
Logo
ker T =spanl(1,1,0),,(0,1,2)r

Passo 5

Confirmando as dimensões pelo Teorema do Núcleo e Imagem:
dim(ker T)=2, dim(ImT)=1,
e de fato 2+1=3.

Resposta

ker T=span(1,1,0),(0,1,2), dim(ker T)=2.
ImT=span(4,-4,2), dim(ImT)=1.

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