Nos itens abaixo, defina a transformação linear T por T(v)=A v e determine o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
A=[rlcc1 & 2 & -1 & 4 3 & 1 & 2 & -1 -4 & -3 & -1 & -3 -1 & -2 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^4to R^4 por
T(v)=A,v,
com
A= 1 & 2 & -1 & 4 3 & 1 & 2 & -1 -4 & -3 & -1 & -3 -1 & -2 & 1 & 1
Queremos encontrar ker(T), Im(T) e suas dimensões. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss em A para identificar colunas-pivô (que dão a imagem) e resolver A,x=0 (que dá o núcleo).

Passo 2

Aplicamos operações de linha para reduzir a forma escalonada:
Dessa forma vemos pivôs nas colunas , e .

Passo 3

Como há pivôs em
Da terceira equação vem , obtemos . Substituindo na primeira,
Logo,

Passo 4

Portanto
ker(T)=lt,(-1,1,1,0)mid tin Rr,
logo dimker(T)=1.

Passo 5

Como colunas-pivô de A são a 1, a 2 e a 4, uma base de Im(T) é dada por
lT(e1),,T(e2),,T(e4)r =l(1,3,-4,-1),,(2,1,-3,-2),,(4,-1,-3,1)r,
e dimIm(T)=3.

Resposta

ker(T)=t(-1,1,1,0) mid t in R,\quad dimker(T)=1
Im(T)=span(1,3,-4,-1),,(2,1,-3,-2),,(4,-1,-3,1),\quad dimIm(T)=3

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