Seja f(x)=x^4+x. Mostre que, embora f^prime prime(0)=0, a curva de f não possui um extremo relativo nem um ponto de inflexão em x=0. Faça um esboço da curva de f(x).

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x^4+x e pede para mostrar que, embora
f''(0)=0,
não há nem extremo relativo nem ponto de inflexão em x=0, e em seguida fazer um esboço da curva.
Conteúdo: teste de primeira derivada para extremos e teste de mudança de concavidade para inflexão, mais análise qualitativa para o desenho.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada e testemos a existência de extremo em x=0.
A derivada é
f'(x)=4x^3+1
Em particular,
f'(0)=1neq0,
logo a tangente em x=0 não é horizontal. Como para um extremo relativo precisamos de f'(0)=0, concluímos que não há extremo relativo em x=0.

Passo 3

Agora vemos a concavidade e ponto de inflexão em x=0. A segunda derivada é
f''(x)=12x^2
Temos f''(0)=0, mas para todo xneq0 vale f''(x)=12x^2>0. Isso significa que a concavidade é sempre para cima e não muda de sinal ao passar por x=0. Portanto, não há ponto de inflexão em x=0.

Passo 4

Esboço qualitativo da curva de f:
  • limxtopminftyf(x)=+infty (termo x^4 domina).
  • A equação f'(x)=0 dá um único ponto crítico em x0=-raiz[3]tfrac14approx-0,63, onde ocorre um mínimo local, pois f' muda de negativo (quando x<x0) para positivo (quando x>x0).
  • Em x=0 passa o ponto (0,0) com inclinação f'(0)=1 e concavidade para cima.
    Gráfico: vem de +infty quando xto-infty, desce até o mínimo em xapprox-0,63, sobe passando por (0,0) e segue subindo cada vez mais rápido para xto+infty, sempre “embrulhado” para cima (concavidade positiva).

Resposta

Não há extremo relativo nem ponto de inflexão em x=0. Esboço da curva: um único mínimo em x=-raiz[3]1/4, passa por (0,0) com inclinação positiva e concavidade sempre para cima.

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