Seja
. Mostre que, embora
, a curva de
não possui um extremo relativo nem um ponto de inflexão em
. Faça um esboço da curva de
.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para mostrar que, embora
não há nem extremo relativo nem ponto de inflexão em
, e em seguida fazer um esboço da curva.
Conteúdo: teste de primeira derivada para extremos e teste de mudança de concavidade para inflexão, mais análise qualitativa para o desenho.
Conteúdo: teste de primeira derivada para extremos e teste de mudança de concavidade para inflexão, mais análise qualitativa para o desenho.
Passo 2
Calculemos a primeira derivada e testemos a existência de extremo em
.
A derivada é
A derivada é
Em particular,
logo a tangente em
não é horizontal. Como para um extremo relativo precisamos de
, concluímos que não há extremo relativo em
.
Passo 3
Agora vemos a concavidade e ponto de inflexão em
. A segunda derivada é
Temos
, mas para todo
vale
. Isso significa que a concavidade é sempre para cima e não muda de sinal ao passar por
. Portanto, não há ponto de inflexão em
.
Passo 4
Esboço qualitativo da curva de
:
-
(termo domina). - A equação
dá um único ponto crítico em onde ocorre um mínimo local, pois muda de negativo (quando ) para positivo (quando ). - Em
passa o ponto com inclinação e concavidade para cima.
Gráfico: vem dequando , desce até o mínimo em , sobe passando por e segue subindo cada vez mais rápido para , sempre “embrulhado” para cima (concavidade positiva).
Resposta
Não há extremo relativo nem ponto de inflexão em
. Esboço da curva: um único mínimo em
, passa por
com inclinação positiva e concavidade sempre para cima.