Nos itens abaixo, S denota o cilindro fechado com base dada por z=0 e topo dado por z=4, e superfície lateral dada pela equação x^2+y^2=9. Oriente S com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
integral duplaS z k cdot d S;

Passo 1

O enunciado descreve a superfície fechada S que é um cilindro de raio 3, altura 4, com base em z=0, topo em z=4 e parede lateral x^2+y^2=9, orientada para fora. Precisamos calcular o fluxo do campo ;z,k; através de S, ou seja,
integral duplaS z,kcdot dS

Passo 2

Para resolver isso de um jeito esperto, usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
integral duplaSFcdot n,dS ;=;integral triplaV nabla!cdotF,dV,
onde escolhemos F(x,y,z)=z,k. Assim transformamos o problema num volume fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos a divergência de F. Como F=(0,0,z), temos
nabla!cdotF =partialpartial x(0) +partialpartial y(0) +partialpartial z(z) =1

Passo 4

O volume V é o próprio cilindro de raio 3 e altura 4. Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz. Logo
integral triplaV1,dV =integraltheta=0^2pi!integralr=0^3!integralz=0^4r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Fazendo as integrais em ordem:
integral0^2pidtheta ;times; integral0^3r,dr ;times; integral0^4dz =2pi;times;3^22;times;4 =36pi
Portanto o fluxo pedido vale 36pi.

Resposta

36pi

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