Nos itens abaixo,
denota o cilindro fechado com base dada por
e topo dado por
, e superfície lateral dada pela equação
. Oriente
com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado descreve a superfície fechada
que é um cilindro de raio
, altura
, com base em
, topo em
e parede lateral
, orientada para fora. Precisamos calcular o fluxo do campo
através de
, ou seja,
Passo 2
Para resolver isso de um jeito esperto, usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
onde escolhemos
. Assim transformamos o problema num volume fácil de integrar.
Passo 3
Calculamos a divergência de
. Como
, temos
Passo 4
O volume
é o próprio cilindro de raio
e altura
. Em coordenadas cilíndricas
, o elemento de volume é
. Logo
Passo 5
Fazendo as integrais em ordem:
Portanto o fluxo pedido vale
.