Nos itens abaixo, S denota o cilindro fechado com base dada por z=0 e topo dado por z=4, e superfície lateral dada pela equação x^2+y^2=9. Oriente S com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
integral duplaS(-y i+x j) cdot d S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F = -y,i + x,j através da superfície fechada S do cilindro de raio 3 (dado por x^2+y^2=9) e altura 4 (de z=0 até z=4), com orientação para fora. O método mais direto aqui é usar o Teorema da Divergência (Gauss), que relaciona o fluxo de F por S à integral tripla de nablacdotF sobre o volume interno.

Passo 2

Vamos calcular a divergência de F. Por definição,
nablacdotF =partialpartial x(-y);+;partialpartial y(x);+;partialpartial z(0) =0+0+0 =0

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSFcdot dS =integral triplaV(nablacdotF),dV =integral triplaV0,dV =0,
onde V é o volume do cilindro.

Resposta

0

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