Nos itens abaixo, encontre o fluxo do campo F dado através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0. Oriente a superfície para fora.
F=y j ;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo F=y,j através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2,,z>=0, orientado para fora. O conteúdo envolvido é integral de superfície (fluxo) e podemos usar o Teorema da Divergência fechando a superfície com o disco z=0.

Passo 2

Definimos a região volumétrica V como a meia-bola x^2+y^2+z^2<= a^2,,z>=0. A fronteira orientada “para fora” é composta pelo hemisfério S1 (nossa superfície de interesse) e pelo disco S2 de raio a no plano z=0, com normal para baixo ( -k).

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
nabla!cdotF =partial (0)partial x +partial (y)partial y +partial (0)partial z =1

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaS1cup S2Fcdot dS =integral triplaV(nabla!cdotF),dV =integral triplaV1,dV =Vol(V) =2pi3a^3

Passo 5

No disco S2 temos F=(0,y,0) e normal dS=-k,dS, logo
integral duplaS2Fcdot dS =integral duplaS2(0,y,0)cdot(0,0,-1),dS =0

Passo 6

Como o fluxo total pelo conjunto S1cup S2 vale tfrac2pi3a^3 e o fluxo em S2 é zero, o fluxo em S1 (o hemisfério) é
integral duplaS1Fcdot dS =2pi3a^3

Resposta

2pi3a^3

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